Problemas de interpretación con la prueba de hipótesis

Siempre me molestaron dos cosas sobre las pruebas de hipótesis:

1. La probabilidad de que la media de la población sea exactamente cualquier número dado (siempre que la variable aleatoria en cuestión sea continua) es siempre cero, ¿no es así? Por lo tanto, siempre debemos rechazar la hipótesis nula ...
2. Si el resultado de la prueba es si rechazar o aceptar la hipótesis nula , ¿qué diferencia hace lo que establece la hipótesis alternativa?

Por favor, ¿alguien puede arrojar algo de luz?

En las pruebas de hipótesis frecuentistas no tiene sentido hablar de "la posibilidad de que la media de la población sea un número dado" porque la media de la población es un valor fijo pero desconocido. En particular, las pruebas frecuentistas no asumen que la media de la población es una variable aleatoria y, por lo tanto, no tiene sentido hablar de$P(\mu=0)$.

La hipótesis alternativa es importante en la selección de la región crítica, que es el conjunto de realizaciones del estadístico de prueba que implicaría un rechazo de la nula a favor de la alternativa. Por ejemplo, si especifica la alternativa como$\mu >0$ entonces usaría una prueba de una cola en lugar de una prueba de dos colas.

Cuando Fisher ideó por primera vez lo que ahora se llama prueba de hipótesis, no tenía en mente una hipótesis alternativa. Simplemente quería crear una estadística que midiera el grado de acuerdo entre la estimación y un valor propuesto. Encontró la probabilidad de obtener un valor para un estimador más alejado del valor propuesto que el estimado de los datos. El valor p es solo una transformación uno a uno del estadístico de prueba. No hay hipótesis alternativa aquí.

Fueron Neyman y Pearson quienes crearon la formulación de hipótesis nula y alternativa y la incorporaron a la teoría de la decisión. ¿Cuál de estas afirmaciones debo aceptar? (Estoy usando "aceptar" un poco flojo aquí.) Querían encontrar un procedimiento que fuera correcto con la mayor frecuencia posible (vinculando así el concepto a la noción frecuentista de muestreo repetido). Eligieron minimizar la posibilidad de no rechazar un falso nulo (minimizar el error Tipo II o maximizar la potencia) para una posibilidad dada de rechazar un nulo verdadero (para una probabilidad dada de un error Tipo I). Este marco requería la declaración de una hipótesis nula para determinar la posibilidad de rechazar un verdadero nulo (que es el valor p, igual que lo calculado por Fisher) y el enunciado de la hipótesis alternativa para encontrar el procedimiento más poderoso para detectar la alternativa cuando es verdadera. Por lo general, no podemos encontrar una prueba que sea la más poderosa contra todas las alternativas posibles para un nulo dado; reexpresado, la alternativa importa en la elección de la prueba.

Por lo tanto, utiliza la alternativa cuando realiza la prueba de hipótesis: se incluye en la prueba que elige utilizar en primer lugar.

Puede rechazar la hipótesis nula, pero nunca la acepta , solo falla en rechazarla. Es decir, puede concluir que la evidencia (observaciones) no es lo suficientemente fuerte como para rechazar la hipótesis nula , pero no acepta la hipótesis nula y la acepta .

Por ejemplo, en un ensayo clínico para evaluar si cierto medicamento es eficaz, la hipótesis nula es que el medicamento no es efectivo. Si la evidencia es sólida de que el medicamento es efectivo, rechaza la anulación. Si la evidencia es débil, usted dice que no hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. Usted no declara thst el medicamento es ineficaz (aceptar la hipótesis nula), sólo que no hay suficiente evidencia para decir que es eficaz (no rechazar la hipótesis nula). En el caso de un punto nulo como$\mu = 0$, puedes decir con cierta confianza que $\mu \neq 0$ si la evidencia apunta de esa manera, pero en presencia de evidencia débil, un experto en estadística diría que no hay evidencia suficiente para concluir que $\mu \neq 0$ en lugar de proclamar a todo el mundo que $\mu = 0$como lo demuestra la prueba que acaba de concluir. Después de todo, el valor real de $\mu$ podría ser muy diferente de $\mu\ldots$

Si bien es común escribir siempre la hipótesis nula utilizando solo un signo igual ($\mu=\mu_0$) en realidad, la hipótesis nula contiene todos los valores no incluidos en la hipótesis alternativa, de modo que si tenemos $H_a: \mu > \mu_0$ entonces lo nulo que estamos probando es realmente $H_0: \mu \le \mu_0$. Incluso la hipótesis nula de la prueba de 2 colas es realmente que el valor verdadero de la media está en un pequeño intervalo alrededor del valor nulo reclamado, ese intervalo está determinado por el nivel de redondeo en la medición y registro de los datos y la precisión de la computadora.