El valor medio de un dado seleccionado de una serie infinita de tiradas.

Si lanzo un par de dados un número infinito de veces, y siempre selecciono el valor más alto de los dos, ¿la media esperada de los valores más altos excederá 3.5?

Parece que debe ser porque si lanzo un millón de dados y selecciono el valor más alto cada vez, las probabilidades son abrumadoras de que haya seis disponibles en cada lanzamiento. Por lo tanto, la media esperada tendría que ser algo así como 5.999999999999 ...

Sin embargo, parece que no puedo averiguar cuál sería el valor esperado con mi ejemplo usando solo 2 dados. ¿Alguien puede ayudarme a llegar a un número? ¿Apenas superaría 3.5? ¿Es esto algo que se pueda calcular?

El experimento también se puede simular. Este enfoque es útil cuando la enumeración es difícil (como lanzar 3 dados).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

No es necesario utilizar la simulación para esto, el caso general es bastante fácil de analizar. Deje que sea el número de dados y X sea el rollo máximo hecho al rodar los n dados.$n$$X$$n$

Se deduce que y en general P(X≤k)=(

$$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$$ parakentre 1 y 6. Por lo tanto, podemos obtener P(X=k)=P(x≤k)-P(x≤k-1)=( $$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$$ $k$ $$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$$

Entonces podemos escribir la distribución de probabilidad en forma cerrada. Al hacer esto para , obtiene el valor esperado 4.472222.$n = 2$

Sugiero simplemente trabajar en el caso trivial para ver la respuesta.

Los posibles resultados de lanzar dos dados generan una matriz de 6x6:

$$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

El valor esperado de la suma es 7. Este es el caso porque los rollos son dibujos independientes idénticos, por lo que pueden sumarse. La expectativa de lanzar un dado cúbico justo es 3.5.

Pero estás preguntando acerca de la maximización. Ahora enumeremos la maximización al tirar dos dados. De nuevo, es una matriz de 6x6:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$$

Calcule el valor esperado, así:

$$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$$ .

Tenga en cuenta que rodando $n$ dado es (en un sentido probabilístico) equivalente a tirar un dado $n$veces. Entonces para rodar$n$ En los dados se puede ver cómo cambia la matriz y también cómo cambia la expectativa resultante.

Suponiendo que cada una de las 36 combinaciones tiene la misma probabilidad, solo tenemos que sumar los valores de cada una de las 36 combinaciones y dividir por 36 para obtener el promedio:

1. 1 posibilidad: 11
2. 3 posibilidades: 12, 21, 22
3. 5 posibilidades: 13, 23, 31, 32, 33
4. 7 posibilidades: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
5. 9 posibilidades: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
6. 11 posibilidades: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

Troll Dice Roller es la herramienta para encontrar probabilidades de dados. Tiene un documento que explica la implementación, pero es bastante académico.

max(2d6) rendimientos

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642