Un posible error en una derivación de probabilidad condicional

Lo siguiente es una derivación de una densidad de un trabajo que estoy estudiando actualmente. Perdón por la mala calidad, es un documento bastante viejo. Necesito aclarar que $R$ tiene la densidad exponencial estándar en $(0,\infty)$ , $U$ es uniforme en $(0,1)$ y son independientes El coeficiente de correlación de la población. $\rho$ Es una constante por supuesto. $X$ y $Y$ provienen de la distribución normal bivariada estándar, de ahí la representación trigonométrica, pero esto no juega ningún papel aquí, creo.

Lo que no entiendo es cómo el autor llega a estas conclusiones positivas o negativas. $t$ . Me parece que la división por un número negativo y la no negatividad de $R$ no se tienen en cuenta adecuadamente. Podría estar equivocado, por supuesto, así que agradecería algunos consejos. Gracias.

— JohnK
fuente

@ Xi'an Gracias por tu comentario. Esta representación se deriva del hecho de que

X Y = [(X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}] / 4

$XY = \left[ (X+Y)^2 -(X-Y)^2 \right]/4$ con

X - Y

$X-Y$ y

X + Y

$X+Y$ independiente. Como la suma tiene varianza

2 (1 + ρ)

$2(1+\rho)$ y la diferencia

2 (1 - ρ)

$2(1-\rho)$ , entonces

X Y

$XY$ tiene la misma distribución que

\frac{1}{2} ((1 + ρ) Z_{1}^{2} - (1 - ρ) Z_{2}^{2})

$\frac{1}{2}\left((1+\rho)Z_1^2 -(1-\rho) Z_2 ^2 \right)$ dónde

Z_{i}

$Z_i$ ahora tiene la distribución normal estándar. Luego el resultado sigue poniendo

Z_{1} = \sqrt{- 2 \log (U_{1}}) \cos (2 π U_{2})

$Z_1=\sqrt{-2\log(U_1})\cos(2\pi U_2)$ y

Z_{2} = \sqrt{- 2 \log (U_{1})} \sin (2 π U_{2})

$Z_2=\sqrt{-2\log(U_1)} \sin(2\pi U_2)$ , la transformación de Box-Muller y la uitlización de eso

- \log (U)

$- \log(U)$ tiene la distribución exponencial estándar

— JohnK

@ Xi'an No hay problema. ¿Diría que los pasos siguientes son correctos, entonces?

— JohnK

También puedo estar equivocado, pero no veo dificultad con la descomposición.

Cuando $t\ge 0$ ,

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ &=P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0) \end{align*}$ ya que el segundo término es cero,

R

$R$ siendo multiplicado allí por un término negativo. Así

P (X Y \geq t) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, U \leq \cos^{- 1} (- ϱ) / π) = \int_{0}^{\cos^{- 1} (- ϱ) / π} P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t) d u

$P(XY\ge t) = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\quad\qquad \\ \ \ \ = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,U\le\cos^{-1}(-\varrho)/\pi)\\ = \int_0^{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi} P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t)\,\text{d}u$ Parece ser correcto.

Cuando $t\le 0$ , ya que

R (\cos (π U) + ϱ) \geq t

$R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t$ siempre es cierto cuando

\cos (π U) + ϱ \geq 0

$\cos(\pi U)+\varrho\ge 0$ ,

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P (R (- \cos (π U) - ϱ) \leq - t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P {R \leq t / (\cos (π U) + ϱ), U \geq \cos^{- 1} (- ϱ) / π} \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + \int_{\cos^{- 1} (- ϱ) / π}^{1} P {R \leq t / (\cos (π u) + ϱ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(-\cos(\pi U)-\varrho)\le -t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi U)+\varrho),U\ge\cos^{-1}(-\varrho)/\pi\right\}\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+\int_{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi}^1 P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi u)+\varrho\right\} \end{align*}$ así que esto parece ser correcto también.

— Xi'an
fuente

Creo que mi error fue invertir el coseno, no cambió las desigualdades. Muchas gracias por su respuesta.

— JohnK