Reducir a la mitad una variable aleatoria discreta?

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Sea una variable aleatoria discreta que tome sus valores en . Me gustaría reducir a la mitad esta variable, es decir, encontrar una variable aleatoria como: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

donde es una copia independiente de . $Y^*$ $Y$

Me refiero a este proceso como reducir a la mitad ; Esta es una terminología inventada. ¿Existe un término apropiado en la literatura para esta operación?
Me parece que tal siempre existe solo si aceptamos probabilidades negativas. ¿Estoy correcto en mi observación? $Y$
¿Existe una noción de mejor ajuste positivo para ? También conocida como la variable aleatoria que sería la "más cercana" para resolver la ecuación anterior. $Y$

¡Gracias!

random-variable

— Joannes Vermorel
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1

En los casos en los que no se puede "reducir a la mitad" exactamente, existen múltiples definiciones posibles de "más cercano"; depende de lo que quieras optimizar.

— Glen_b -Reinstalar Monica

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Una noción fuertemente relacionada con esta propiedad (si es más débil) es la descomponibilidad . Una ley descomponible es una distribución de probabilidad que se puede representar como la distribución de una suma de dos (o más) variables aleatorias independientes no triviales. (Y una ley indescomponible no se puede escribir de esa manera. El "o más" es definitivamente irrelevante). Una condición necesaria y suficiente para la descomposición es que la función característica es el producto de dos (o más) funciones características.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

No sé si la propiedad que considera ya tiene un nombre en la teoría de la probabilidad, tal vez vinculada con la divisibilidad infinita . Lo cual es una propiedad mucho más fuerte de , pero que incluye esta propiedad: todos los RV infinitamente divisibles satisfacen esta descomposición. $X$

Una condición necesaria y suficiente para esta "divisibilidad primaria" es que la raíz de la función característica es nuevamente una función característica.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

En el caso de distribuciones con soporte de enteros, este rara vez es el caso, ya que la función característica es un polinomio en . Por ejemplo, una variable aleatoria de Bernoulli no es descomponible. $\exp\{it\}$

Como se señaló en la página de Wikipedia sobre descomponibilidad , también existen distribuciones absolutamente continuas que no son descomponibles, como la que tiene una densidad

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

En el caso de que la función característica de tenga un valor real, se puede utilizar el teorema de Polya : $X$

El teorema de Pólya. Si φ es una función continua de valor real, incluso, que satisface las condiciones
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
entonces φ es la función característica de una distribución simétrica absolutamente continua.

De hecho, en este caso, es de nuevo de valor real. Por lo tanto, una condición suficiente para que sea divisible primariamente es que φ es convexo a la raíz. Pero solo se aplica a distribuciones simétricas, por lo que tiene un uso mucho más limitado que el teorema de Böchner, por ejemplo. $\varphi^{1/2}$ $X$

— Xi'an
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6

Hay algunos casos especiales en los que esto es cierto, pero para una variable aleatoria discreta arbitraria , su "reducción a la mitad" no es posible.

$(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
$(2n,p)$
$(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Dilip Sarwate
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2

+1 Recuerdo que el uniforme discreto es un caso particular donde no es posible (creo que hay muchos otros, pero es uno que he visto).

— Glen_b -Reinstate Monica

De hecho, una distribución uniforme es descomponible pero no divisible en el sentido anterior.

— Xi'an

2

La distribución de Poisson es un ejemplo de una distribución infinitamente divisible, por lo que se puede dividir en una suma de un número arbitrario de variables iid.

— Xi'an

-1

$\frac{1}{2}$

Para responder tu pregunta,

$X$ $X$
$Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
No he visto ninguno, y no puedo imaginar cómo formalizar un mejor ajuste. Por lo general, las aproximaciones a variables aleatorias se miden por una norma sobre el espacio de variables aleatorias. No puedo pensar en aproximaciones de variables aleatorias por o para variables no aleatorias.

Espero poder ayudar

— mattd
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