¿Cuál es la distribución de varios dados poliédricos todos tirados a la vez?

Tome los 5 sólidos platónicos de un conjunto de dados de Dungeons & Dragons. Estos consisten en un dado de 4 lados, 6 lados (convencional), 8 lados, 12 lados y 20 lados. Todos comienzan en el número 1 y cuentan hacia arriba en 1 hasta su total.

Tira todos a la vez, toma su suma (la suma mínima es 5, la máxima es 50). Hazlo varias veces. ¿Cuál es la distribución?

Obviamente, tenderán hacia el extremo inferior, ya que hay más números más bajos que más altos. ¿Pero habrá puntos de inflexión notables en cada límite del dado individual?

[Editar: Aparentemente, lo que parecía obvio no lo es. Según uno de los comentaristas, el promedio es (5 + 50) /2=27.5. No esperaba esto. Todavía me gustaría ver un gráfico.] [Edit2: Tiene más sentido ver que la distribución de n dados es la misma que cada dado por separado, sumados.]

No quisiera hacerlo algebraicamente, pero puedes calcular el pmf simplemente (es solo convolución, que es realmente fácil en una hoja de cálculo).

Calculé esto en una hoja de cálculo *:

i        n(i)   100 p(i)
5         1     0.0022
6         5     0.0109
7        15     0.0326
8        35     0.0760
9        69     0.1497
10      121     0.2626
11      194     0.4210
12      290     0.6293
13      409     0.8876
14      549     1.1914
15      707     1.5343
16      879     1.9076
17     1060     2.3003
18     1244     2.6997
19     1425     3.0924
20     1597     3.4657
21     1755     3.8086
22     1895     4.1124
23     2014     4.3707
24     2110     4.5790
25     2182     4.7352
26     2230     4.8394
27     2254     4.8915
28     2254     4.8915
29     2230     4.8394
30     2182     4.7352
31     2110     4.5790
32     2014     4.3707
33     1895     4.1124
34     1755     3.8086
35     1597     3.4657
36     1425     3.0924
37     1244     2.6997
38     1060     2.3003
39      879     1.9076
40      707     1.5343
41      549     1.1914
42      409     0.8876
43      290     0.6293
44      194     0.4210
45      121     0.2626
46       69     0.1497
47       35     0.0760
48       15     0.0326
49        5     0.0109
50        1     0.0022

Aquí es el número de formas de obtener cada i total ; p ( i ) es la probabilidad, donde p ( i ) = n ( i ) /$n(i)$$i$$p(i)$$p(i) = n(i)/46080$ . Los resultados más probables ocurren menos del 5% del tiempo.

El eje y es la probabilidad expresada como un porcentaje.

* El método que utilicé es similar al procedimiento descrito aquí , aunque la mecánica exacta involucrada en su configuración cambia a medida que cambian los detalles de la interfaz de usuario (esa publicación tiene aproximadamente 5 años ahora aunque la actualicé hace aproximadamente un año). Y esta vez utilicé un paquete diferente (esta vez lo hice en LibreOffice's Calc). Aún así, esa es la esencia de esto.

Entonces hice este código:

d4 <- 1:4  #the faces on a d4
d6 <- 1:6  #the faces on a d6
d8 <- 1:8  #the faces on a d8
d10 <- 1:10 #the faces on a d10 (not used)
d12 <- 1:12 #the faces on a d12
d20 <- 1:20 #the faces on a d20

N <- 2000000  #run it 2 million times
mysum <- numeric(length = N)

for (i in 1:N){
     mysum[i] <- sample(d4,1)+
                 sample(d6,1)+
                 sample(d8,1)+
                 sample(d12,1)+
                 sample(d20,1)
}

#make the plot
hist(mysum,breaks = 1000,freq = FALSE,ylim=c(0,1))
grid()

El resultado es esta trama.

Tiene un aspecto bastante gaussiano. Creo que (nuevamente) puede haber demostrado una variación en el teorema del límite central.

Un poco de ayuda para tu intuición:

Primero, considere lo que sucede si agrega uno a todas las caras de un dado, por ejemplo, el d4. Entonces, en lugar de 1,2,3,4, las caras ahora muestran 2,3,4,5.

Comparando esta situación con la original, es fácil ver que la suma total ahora es una más alta de lo que solía ser. Esto significa que la forma de la distribución no cambia, solo se mueve un paso hacia un lado.

Ahora resta el valor promedio de cada dado de cada lado de ese dado.

Esto da dados marcados

• $-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$
• $-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$
• $-{7\over 2}$$-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$${7\over 2}$

etc.

Ahora, la suma de estos dados aún debe tener la misma forma que el original, solo desplazada hacia abajo. Debe quedar claro que esta suma es simétrica alrededor de cero. Por lo tanto, la distribución original también es simétrica.

> p  <-  q  <-  c(0, rep(1/6,6))
> pq  <-  convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
 [7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778

y puede verificar que eso es correcto (cálculo manual). Ahora para la pregunta real, cinco dados con 4,6,8,12,20 lados. Haré el cálculo asumiendo sondeos uniformes para cada dado. Luego:

> p1  <-  c(0,rep(1/4,4))
> p2 <-  c(0,rep(1/6,6))
> p3 <-  c(0,rep(1/8,8))
> p4  <-  c(0, rep(1/12,12))
> p5  <-  c(0, rep(1/20,20))
> s2  <-  convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <-  convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <-  convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
 [7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))

La trama se muestra a continuación:

Ahora puede comparar esta solución exacta con simulaciones.

El teorema del límite central responde a su pregunta. Aunque sus detalles y su prueba (y ese artículo de Wikipedia) son un tanto alucinantes, la esencia es simple. Según Wikipedia, dice que

la suma de varias variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con variaciones finitas tenderá a una distribución normal a medida que crezca la cantidad de variables.

Boceto de una prueba para su caso:

Cuando dices "tira todos los dados a la vez", cada tirada de todos los dados es una variable aleatoria.

Tus dados tienen números finitos impresos en ellos. La suma de sus valores, por lo tanto, tiene una varianza finita.

Cada vez que tira todos los dados, la distribución de probabilidad del resultado es la misma. (Los dados no cambian entre tiradas).

Si tira los dados de manera justa, cada vez que los tira, el resultado es independiente. (Las tiradas anteriores no afectan las tiradas futuras).

¿Independiente? Cheque. ¿Idénticamente distribuido? Cheque. Varianza finita? Cheque. Por lo tanto, la suma tiende hacia una distribución normal.

Ni siquiera importaría si la distribución de un lanzamiento de todos los dados fuera desigual hacia el extremo inferior. No importaría si hubiera cúspides en esa distribución. Todo el resumen lo suaviza y lo convierte en un gaussiano simétrico. ¡Ni siquiera necesita hacer álgebra o simulación para mostrarlo! Esa es la sorprendente visión del CLT.