Dos definiciones de valor p: ¿cómo demostrar su equivalencia?

Estoy leyendo el libro de Larry Wasserman, Todas las estadísticas , y actualmente sobre los valores p (página 187). Permítanme presentarles algunas definiciones (cito):

$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Básicamente, esto dice que , el tamaño es la probabilidad "mayor" de un error de tipo I. El valor se define a través de (cito)$\alpha$$p$

Definición 2 Suponga que para cada tenemos una prueba de tamaño con región de rechazo . Luego, donde .$\alpha\in(0,1)$$\alpha$$R_\alpha$

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ $X^n=(X_1,\dots,X_n)$

Para mí esto significa: dado un específico, hay una región de prueba y rechazo para que . Para el valor simplemente tomo el más pequeño de todos estos .$\alpha$$R_\alpha$$\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$$p$$\alpha$

Pregunta 1 Si este fuera el caso, entonces podría elegir claramente para arbitrariamente pequeño . ¿Cuál es mi interpretación incorrecta de la definición 2, es decir, qué significa exactamente?$\alpha = \epsilon$$\epsilon$

Ahora Wasserman continúa y establece un teorema para tener una definición "equivalente" de valor con la que estoy familiarizado (cito):$p$

Teorema Suponga que la prueba de tamaño tiene la forma Entonces, donde es el valor observado de .$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

Así que aquí está mi segunda pregunta:

Pregunta 2 ¿Cómo puedo probar este teorema? Tal vez se deba a mi malentendido de la definición del valor , pero no puedo entenderlo.$p$

Tenemos algunos datos multivariados , extraídos de una distribución con algún parámetro desconocido . Tenga en cuenta que son resultados de muestra.$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Queremos probar algunas hipótesis sobre un parámetro desconocido , los valores de bajo la hipótesis nula están en el conjunto .$\theta$$\theta$$\theta_0$

En el espacio de la , podemos definir una región de rechazo , y el poder de esta región se define como . Entonces, la potencia se calcula para un valor particular de como la probabilidad de que el resultado de la muestra esté en la región de rechazo cuando el valor de es . Obviamente, la potencia depende de la región y de la elegida .$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

La definición 1 define el tamaño de la región$R$ como el supremum de todos los valores de para en , por lo que solo para valores de debajo de . Obviamente, esto depende de la región, por lo que .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Como depende de , tenemos otro valor cuando la región cambia, y esta es la base para definir el valor p: cambiar la región, pero de tal manera que el valor observado de la muestra todavía pertenezca a la región, por cada uno de tales región, calcular la como se define anteriormente y tomar el ínfimo: . Entonces el valor p es el tamaño más pequeño de todas las regiones que contienen .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

El teorema es entonces solo una 'traducción' del mismo, es decir, el caso en el que las regiones se definen utilizando una estadística y para un valor se define una región como . Si usa este tipo de región en el razonamiento anterior, entonces el teorema sigue.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

EDITAR debido a los comentarios:

@ usuario8: para el teorema; si define regiones de rechazo como en el teorema, entonces una región de rechazo de tamaño es un conjunto que se parece a para algunos .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Para encontrar el valor p de un valor observado , es decir, , debe encontrar la región más pequeña , es decir, el valor más grande de tal que todavía contiene , este último (la región contiene ) es equivalente (debido a la forma en que se definen las regiones) a decir que , por lo que debe encontrar el mayor tal que$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Obviamente, la más grande tal que debería ser y luego el conjunto supra se convierte en$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

En la definición 2, el valor de una estadística de prueba es el límite inferior más grande de todos modo que la hipótesis se rechaza para una prueba de tamaño . Recuerde que cuanto más pequeño hagamos , menor será la tolerancia al error de Tipo I que permitimos, por lo que la región de rechazo también disminuirá. Entonces (muy) informalmente hablando, el valor es el más pequeño que podemos elegir que todavía nos permite rechazar por los datos que observamos. No podemos elegir arbitrariamente un más pequeño porque en algún momento,$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ será tan pequeño que excluirá (es decir, no contendrá) el evento que observamos.

Ahora, a la luz de lo anterior, los invito a reconsiderar el teorema.