¿Cómo demostrar que un estimador es consistente?


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¿Es suficiente mostrar que MSE = 0 como ? También leí en mis notas algo sobre plim. ¿Cómo encuentro plim y lo uso para mostrar que el estimador es consistente?n

Respuestas:


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EDITAR: Se corrigieron errores menores.

Aquí hay una forma de hacerlo:

Un estimador de (llamémoslo ) es consistente si converge en probabilidad a . Usando tu notaciónT n θθTnθ

plimnTn=θ .

La convergencia en probabilidad, matemáticamente, significa

limnP(|Tnθ|ϵ)=0 para todos .ϵ>0

La forma más fácil de mostrar la convergencia en probabilidad / consistencia es invocar la Desigualdad de Chebyshev, que establece:

P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2 .

Así,

P(|Tnθ|ϵ)=P((Tnθ)2ϵ2)E(Tnθ)2ϵ2 .

Entonces, debe mostrar que va a 0 como . n E(Tnθ)2n

EDIT 2 : lo anterior requiere que el estimador sea al menos asintóticamente imparcial. Como señala G. Jay Kerns, considere el estimador (para estimar la media ). está sesgado tanto para finito como asintóticamente, y como . Sin embargo, no es un estimador consistente de .μ T n n V a r ( T n ) = V a r ( ˉ X n ) 0 n T n μTn=X¯n+3μTnnVar(Tn)=Var(X¯n)0nTnμ

EDITAR 3 : Ver los puntos del cardenal en los comentarios a continuación.


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@ G.JayKerns La imparcialidad es innecesaria para esto. Considere . es un estimador sesgado de la desviación estándar, pero puede usar el argumento anterior para mostrar que es consistente. SnSn=1n1i=1n(XiXn¯)2Sn

1
Se ve bien (+1); y borraré mis comentarios anteriores.

@ G.JayKerns Sus comentarios fueron una adición necesaria. Siempre debemos asegurarnos de conocer los supuestos bajo los cuales estamos trabajando.

2
@MikeWierzbicki: Creo que debemos ser muy cuidadosos, en particular con lo que queremos decir con asintóticamente imparcial . Hay al menos dos conceptos diferentes que a menudo reciben este nombre y es importante distinguirlos. Tenga en cuenta que, en general, no es cierto que un estimador consistente sea asintóticamente imparcial en el sentido de que incluso cuando la media existe para todo . Mucha gente llama a la convergencia imparcialidad en el límite o imparcialidad aproximada ... (cont.)ETnθθn=ETnnETnθ
cardenal

1
Obviamente, para que un estimador consistente esté sesgado en el límite, la convergencia en debe fallar ya que donde . L2E(Tnθ)2=Var(Tn)+(θnθ)2θn=ETn
cardenal
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