X, Y variable aleatoria univariada con : ¿son independientes?

Deje que e sean variables aleatorias univariadas con CDF tales que: donde , son funciones conocidas. $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ $F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y), \forall (x, y) \in R \times R

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

G_{1} : R \to R

$G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

G_{2} : R \to R

$G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Pregunta : ¿Es cierto que e son RV independientes? $X$ $Y$

¿Alguien puede darme algunas pistas?

Traté de: pero no sé por qué (o si) .

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = lim_{y \to \infty} G_{1} (x) G_{2} (y) = G_{1} (x) \cdot lim_{y \to \infty} G_{2} (y)

$F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y)$

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$

random-variable joint-distribution

— Guilherme Salomé
fuente

¿La relación

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$ cumple para todos los

x

$x$ e

y

$y$ o solo en un determinado

(x, y)

$(x,y)$ ?

— Dilip Sarwate

Además, ¿es el CDF?

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

— Vimal

¿Intenta preguntarse si saber cómo factorizar la función de distribución de una variable aleatoria bivariada en un producto de funciones de e separado es suficiente para concluir que e son independientes?

(X, Y)

$(X,Y)$

x

$x$

y

$y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Perdón por la confusión, editaré la pregunta ahora. es el CDF y la propiedad es válida para todos los .

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

x, y

$x,y$

— Guilherme Salomé

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ no tiene que ser cierto. Considere y y considere que pero ambos y no puede tener un límite de 1.

H_{1} (x) = G_{1} (x) * 0.5

$H_1(x) = G_1(x) * 0.5$

H_{2} (y) = G_{2} (y) * 2

$H_2(y) = G_2(y) * 2$

F_{X, Y} (x, y) = H_{1} (x) H_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=H_1(x)H_2(y)$

G_{1}

$G_1$

H_{1}

$H_1$

— bsdfish

Sí, es cierto que estos supuestos implican que e son independientes. $X$ $Y$

Simplifique la notación escribiendo . Por definición, $F = F_{X,Y}$

F (x, y) = Pr (X \leq x, Y \leq y) .

$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$

Por lo tanto, el límite de medida que aumenta sin límite existe y es la posibilidad de que no exceda : $F(x,y)$ $y$ $X$ $x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = lim_{y \to \infty} F (x, y) = G_{1} (x) lim_{y \to \infty} G_{2} (y) .

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$

Elegir cualquier para la que muestre no es cero. (Tal debe existir por la ley de probabilidad total, que afirma ) Así $x$ $F_X(x)\ne 0$ $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ $x$ $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$

G_{1} (x) = \frac{F_{X} (x)}{G_{2}^{\infty}}

$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$

para todo . Intercambiando los roles de e y usando notación análoga, $x$ $X$ $Y$

G_{2} (y) = \frac{F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty}}

$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$

por todo . Tomando el límite de la articulación a medida que e crecen sin espectáculos encuadernados $y$ $x$ $y$

1 = lim_{x, y \to \infty} F (x, y) = G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty} .

$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$

Por lo tanto

F (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty}} = F_{X} (x) F_{Y} (y),

$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$

demostrando que e son independientes. $X$ $Y$

— whuber
fuente

Lo curioso es que y pueden ser funciones de valor negativo con, por ejemplo, y y todo seguirá siendo funciona bien.

G_{1} (\cdot)

$G_1(\cdot)$

G_{2} (\cdot)

$G_2(\cdot)$

G_{1}^{\infty} = - 2

$G_1^\infty = -2$

G_{2}^{\infty} = - \frac{1}{2}

$G_2^\infty = -\frac 12$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: no es muy curioso que, si satisface la relación, también lo hace , por lo que puede asumir con seguridad que y tienen un valor positivo. Del mismo modo, si satisface la relación, también lo hace , para cualquier .

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(- G_{1}, - G_{2})

$(-G_1,-G_2)$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(α G_{1}, α^{- 1} G_{2})

$(\alpha G_1,\alpha^{-1} G_2)$

α \in R^{*}

$\alpha\in\mathbb{R}^*$

— Xi'an

@ Xi'an entiendo perfectamente bien. Solo quería enfatizar (ya que el OP se preguntaba cómo mostrar que tenía un valor límite como lo que significa que quería y ) que la factorización implica que e son independientes sin que sea necesariamente cierto que para todo ; para todos funciona igual de bien.

G_{2} (y)

$G_2(y)$

1

$1$

y \to \infty

$y\to\infty$

G_{1} = F_{X}

$G_1=F_X$

G_{2} = F_{Y}

$G_2=F_Y$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall~x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x) \geq 0, G_{2} (y) \geq 0

$G_1(x) \geq 0, G_2(y) \geq 0$

x, y

$x, y$

G_{1} (x) \leq 0, G_{2} (y) \leq 0

$G_1(x) \leq 0, G_2(y) \leq 0$

x, y

$x, y$

— Dilip Sarwate

@Dilip El podría incluso tener valores complejos si lo desea :-).

G_{i}

$G_i$

— whuber

@KiranK. La pregunta que se hace es "Si un CDF conjunto se puede expresar como , entonces son e independientes? " para lo cual la respuesta es Sí, y se requiere un poco de trabajo para mostrar esto. Se no afirmó que y son los FDC válidas; Si insiste en incluir esta afirmación, la respuesta es trivial Sí, porque una de las definiciones de RV independiente es que los factores CDF conjuntos en el producto de los CDF marginales.

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x)

$G_1(x)$

G_{2} (y)

$G_2(y)$

— Dilip Sarwate