¿Cómo probar estadísticamente si mi red (gráfica) es una red de "mundo pequeño" o no?

Una red de mundo pequeño es un tipo de gráfico matemático en el que la mayoría de los nodos no son vecinos entre sí, pero se puede llegar a la mayoría de los nodos entre sí mediante un pequeño número de saltos o pasos. Específicamente, una red de mundo pequeño se define como una red donde la distancia típica L entre dos nodos elegidos al azar (el número de pasos requeridos) crece proporcionalmente al logaritmo del número de nodos N en la red, es decir

$$L \approx \log(N)$$

Esta relación entre L y N es una "regla del pulgar". Estoy buscando una determinación más profesional de los gráficos de mundo pequeño para mi investigación. ¿Cómo puedo probar si mi gráfica es una gráfica de mundo pequeño o no?

El experimento de un mundo pequeño comprendió varios experimentos realizados por Stanley Milgram y otros investigadores que examinaron la longitud promedio de la ruta para las redes sociales de personas en los Estados Unidos. La investigación fue innovadora en el sentido de que sugirió que la sociedad humana es una red de tipo mundo pequeño caracterizada por tramos cortos. Los experimentos a menudo se asocian con la frase "seis grados de separación", aunque Milgram no usó este término él mismo.

Gracias de antemano.

TL; DR:

No puedes

Lo que normalmente se hace

El "estado del arte" actual para determinar si una red es un mundo pequeño utiliza el siguiente enfoque:

1. Calcule la longitud media de la ruta más corta  y el coeficiente de agrupación  de su red.$L$$C$

2. Generar un conjunto apropiado de redes null-modelo, como Erdős-Rényi grafos aleatorios , o grafos aleatorios Maslov-Sneppen .

3. Calcule el promedio de la longitud de camino más corta media sobre este conjunto de redes de modelo nulo; calcule análoga.C $L_\text{r}$$C_\text{r}$

4. Calcule la ruta más corta normalizada . y .$λ := L/L_\text{r}$$γ := C/C_\text{r}$

5. Si y cumplen ciertos criterios (por ejemplo, y ), llame a la red una red de mundo pequeño.$λ$$γ$$λ≈1$$γ>1$

La idea detrás de esto es que:

• Las redes de mundo pequeño deberían tener alguna estructura espacial, que se refleja en un alto coeficiente de agrupación. Por el contrario, las redes aleatorias no tienen dicha estructura y un bajo coeficiente de agrupación.

• Las redes de mundo pequeño son eficientes en la comunicación y similares y, por lo tanto, tienen una pequeña longitud de ruta más corta, comparable a la de las redes aleatorias. Por el contrario, las redes puramente espaciales tienen una alta longitud de ruta más corta.

Donde estan los problemas

• Esto no dice nada acerca de cómo la ruta más corta media se escala con el tamaño de la red. De hecho, para redes reales, no se puede aplicar toda la definición que citó, ya que no existe una misma red con un número diferente de nodos.

• Supongamos que tomamos alguna otra definición de un mundo pequeño que no se basa directamente en los valores de y , por ejemplo:$λ$$γ$

  Una red de mundo pequeño es una red espacial con conexiones de largo alcance agregadas.

  Entonces todavía no podemos tener implicaciones sólidas en cuanto a si tal definición se cumple simplemente usando y (o, de hecho, otras medidas de red). La interpretación de muchos estudios asume que todas las redes son una realización del modelo Watts – Strogatz para una probabilidad de recableado, lo cual no está justificado en absoluto: conocemos muchos otros modelos de red, cuyas realizaciones son completamente diferentes del modelo Watts – Strogatz.$λ$$γ$

• El método anterior no es robusto para los errores de medición. Pequeños errores al establecer una red a partir de mediciones son suficientes para hacer que, por ejemplo, una red parezca una red de mundo pequeño, ver, por ejemplo, Bialonski et al., Chaos (2010) y Papo et al., Front. Tararear. Neurosci. (2016) . De hecho, no conozco un solo estudio que afirme que alguna red empírica no sea una red de mundo pequeño.

Nota al margen: ¿Qué ganarías?

No conozco ninguna idea útil que pueda derivarse de que una red sea un mundo pequeño. La afirmación de que algún tipo de red está bien descrita por cierto modelo de red (por ejemplo, el modelo Watts-Strogatz) puede ser útil para estudios de modelado, pero eso va mucho más allá de simplemente afirmar un mundo pequeño.

^{Descargo de responsabilidad completo: uno de los documentos anteriores es de mi entorno académico directo.}

Se puede calcular un índice de mundo pequeño en "R" utilizando la función smallworldness en el paquete qgraph .

Esto se basa en: Humphries, MD, y Gurney, K. (2008). Red " mundo pequeño": un método cuantitativo para determinar la equivalencia canónica de la red . PLoS One, 3 (4), e0002051

Del periódico:

"Una red ahora se considera un 'mundo pequeño' si S> 1, una afirmación que puede ser probada estadísticamente".