Conjunto de variables no correlacionadas pero linealmente dependientes

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¿Es posible tener un conjunto de variables que no estén correlacionadas pero sean linealmente dependientes? $K$

es decir, y $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

En caso afirmativo, ¿puedes escribir un ejemplo?

EDITAR: De las respuestas se deduce que no es posible.

¿Sería al menos posible que donde es el coeficiente de correlación estimado estimado a partir de muestras de las variables y es una variable que no está correlacionada con . $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

Estoy pensando en algo como $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
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Como muestra la respuesta de @ RUser4512, las variables aleatorias no correlacionadas no pueden ser linealmente dependientes. Pero, las variables aleatorias casi no correlacionadas pueden ser linealmente dependientes, y un ejemplo de esto es algo muy querido para el estadístico.

Suponga que es un conjunto de variables aleatorias de varianza unitaria no correlacionadas con media común . Defina donde . Entonces, son variables aleatorias de media cero tales que , es decir, son linealmente dependientes. Ahora, para que while mostrando que el $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ son variables aleatorias casi sin correlación con coeficiente de correlación .

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Ver también esta respuesta anterior mía.

— Dilip Sarwate
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Este es un buen ejemplo!

— RUser4512

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No.

Supongamos que uno de los no es cero. Sin pérdida de generalidad, supongamos . $a_i$ $a_1=1$

Para , esto implica y . Pero esta correlación es cero. debe ser cero, lo que contradice la existencia de una relación lineal. $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

Para cualquier , y . Pero, según su hipótesis, . Los son cero (para ) y, por lo tanto, debe ser . $K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
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En el caso de los vectores gaussianos, incluso tiene una prueba de una línea (que prefiero mantener como comentario). La correlación es igual a 0 implica independencia.

implica

y ya está.

\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

— RUser4512

Muy buena respuesta. Sería bueno si puedes responder también a la pregunta editada.

— Donbeo

v

$v$

x_{K}

$x_K$

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

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$X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$ $X$ $Y$

$X$ $Y$

— Karl Ove Hufthammer
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