¿Cuál es la definición matemática de los parámetros de ubicación / escala / forma?

Estoy tratando de entender la definición exacta de los parámetros de ubicación / escala / forma (por ejemplo, se llama parámetro de forma es parámetro de escala en Pareto Tipo I). Pero los libros a los que me referí ( The Cambridge Dictionary of Statistics , HMC's Introduction to Mathematical Statistics , Feller's An Introduction to Probability Theory and its Applications , etc.) solo (aparentemente) proporcionaron definiciones descriptivas para estos parámetros (el parámetro de ubicación se llama parámetro de centrado en Feller's ) Wikipedia proporcionó definiciones en términos de cdf y pdf pero sin ninguna fuente dada. $a$ $c$

Basado en los conceptos de las estadísticas no paramétricas (por ejemplo, el Capítulo 10 de HMC) sospecho que los parámetros de ubicación / escala / forma se pueden definir de la siguiente manera:

Sea una variable aleatoria con cdf . Un parámetro , donde es funcional, es un parámetro de ubicación si $X$ $F_X$ $\theta=T(F_X)$ $T$
$\begin{aligned} T (F_{X + a}) & = T (F_{X}) + a, & \forall a \in R, \\ T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a \neq 0; \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{X+a})&=T(F_X)+a,&&\forall a\in\mathbb{R},\\ T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a\neq0;\end{align*}$ y es un parámetro de escala si $\begin{aligned} T (F_{a X}) & = a T (F_{X}), & \forall a > 0, \\ T (F_{X + b}) & = T (F_{X}), & \forall b \in R, \\ T (F_{- X}) & = T (F_{X}); \end{aligned}$ $\begin{align*}T(F_{aX})&=aT(F_X),&&\forall a>0,\\ T(F_{X+b})&=T(F_X),&&\forall b\in\mathbb{R},\\ T(F_{-X})&=T(F_X);\end{align*}$ y es un parámetro de forma si no es ni ubicación ni escala.

¿Estoy en lo correcto? ¿O confundí algunos conceptos no relacionados?

mathematical-statistics nonparametric definition

— Francis
fuente

Mi intuición es que la existencia de este tipo de funcionalidad es única hasta la parametrización de los parámetros. No estoy seguro de si tal funcional siempre existe, y no son necesariamente lineales. Además, creo que la segunda propiedad para el parámetro de ubicación no es necesaria.

— Gumeo

@ Guðmundur Si no se asume la segunda propiedad de un parámetro de ubicación y

T

$T$ es un funcional que satisface la primera propiedad, luego para todo real

b

$b$ ,

T + b

$T + b$ (definido como

(T + b) (F) = T (F) + b

$(T+b)(F) = T(F)+b$ para todas las distribuciones

F

$F$ ) también satisface la primera propiedad, de donde

T

$T$ No sería único.

— whuber

@whuber Extrañé eso ... Estoy de acuerdo contigo.

— Gumeo

@whuber Pero debería

T

$T$ ¿ser único? Por ejemplo, para distribución simétrica,

μ

$\mu$ es media y mediana, que son funciones distintas.

— Francis

@Francis En el conjunto de distribuciones simétricas para las que se definen tanto la media como la mediana, están de acuerdo, por lo que pueden considerarse como el mismo funcional. Sin embargo, creo que tiene razón al cuestionar la implicación de que los parámetros de ubicación deben ser únicos, no necesariamente.

— whuber

A menudo es cierto que estos corresponden a (alguna función de) el primer, segundo y tercer momento como lo señaló @ GuðmundurEinarsson. Sin embargo, hay excepciones: por ejemplo, para una distribución de Cauchy, Evans, Hastings y Peacock (2000) llaman al primer parámetro parámetro de ubicación, pero representa la mediana en lugar de la media. La media ni siquiera está definida para una distribución de Cauchy.

Una descripción más amplia pero menos precisa sería:

el parámetro de ubicación desplaza toda la distribución hacia la izquierda o hacia la derecha
El parámetro de escala comprime o estira la distribución completa
El parámetro shape cambia la forma de la distribución de alguna otra manera.

Merran Evans, Nicholas Hastings y Brian Peacock (2000) Distribuciones estadísticas , tercera edición. Wiley

— Maarten Buis
fuente

En el caso de la mediana podemos definir

T (F_{X}) = F_{X}^{- 1} (1 / 2)

$T(F_X)=F_X^{-1}(1/2)$ (dado inverso existe), que es una ubicación funcional desde

1 / 2 = P (X + a < F_{X + a}^{- 1} (1 / 2)) = P (X + a < F_{X}^{- 1} (1 / 2) + a) = 1 / 2

$1/2=P(X+a<F_{X+a}^{-1}(1/2))=P(X+a<F_{X}^{-1}(1/2)+a)=1/2$ y para

a > 0

$a>0$ (fácil de verificar

a < 0

$a<0$ ):

1 / 2 = P (a X < F_{a X}^{- 1} (1 / 2)) = P (a X < a F_{X}^{- 1} (1 / 2)) = 1 / 2.

$1/2=P(aX<F_{aX}^{-1}(1/2))=P(aX<aF_{X}^{-1}(1/2))=1/2.$ Sospecho que así es como se define el parámetro de ubicación para la distribución de Cauchy (eso es lo que quiere decir con Gauchy, ¿verdad?).

— Francis

Mi error: Gauchy debería haber sido Cauchy. He editado la respuesta para solucionarlo.

— Maarten Buis

@Maarten, es posible que desee cambiar su respuesta, eliminé la mía para no invocar más confusión.

— Gumeo