Al volver a parametrizar una función de probabilidad, ¿es suficiente conectar la variable transformada en lugar de una fórmula de cambio de variables?

Supongamos que estoy tratando de volver a parametrizar una función de probabilidad que se distribuye exponencialmente. Si mi función de probabilidad original es:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

y me gustaría volver a parametrizarlo usando , dado queθno es una variable aleatoria, sino un parámetro, ¿es suficiente solo para enchufar?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Lo que quiero decir explícitamente es:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Si es así, no estoy seguro de cuál es la teoría detrás de esto. Entiendo que la función de verosimilitud es una función del parámetro, por lo que no es necesario usar una fórmula de cambio de variables. Cualquier ayuda sería muy apreciada, ¡gracias!

$y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ $\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$