Integrales aproximadas usando simulación Monte Carlo en R

¿Cómo aproximado la siguiente integral usando la simulación MC?

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} | x - y | d x d y

$\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} |x-y| \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y$

¡Gracias!

Editar (Algún contexto): estoy tratando de aprender a usar la simulación para aproximar integrales, y estoy haciendo algo de práctica cuando me encontré con algunas dificultades.

Edición 2 + 3 : De alguna manera me confundí y pensé que necesitaba dividir la integral en partes separadas. Entonces, en realidad lo descubrí:

n <- 15000
x <- runif(n, min=-1, max=1)
y <- runif(n, min=-1, max=1)
mean(4*abs(x-y))

r self-study monte-carlo

— Mi nombre
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U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

Es 0.5. Entonces necesito multiplicar por dos 2 para dar: 'mean (4 * abs (xy))'. ¿Finalmente lo entendí?

— Mi nombre el

(+1) ¡ Sí ! :) Puede que tenga que esperar unas pocas (8?) Horas, pero debe considerar volver y colocar su edición en una respuesta para que otros usuarios (como yo) puedan votarla. Bienvenido al sitio! Espero verte continuar participando aquí. Salud. :)

— cardenal

Un punto para agregar: encuentro que los máximos son extremadamente útiles para las matemáticas simbólicas. Si tuviera que hacer cálculos analíticos yo mismo, tendría el mismo problema que @EpiGrad. Pero en maxima, podrías hacer integrate(integrate(abs(x-y), y, -1, 1), x, -1, 1);y obtener la respuesta 8/3.

— Karl

Para los interesados R, aunque no tan elegante en el código máximo publicado por Karl, uno puede hacer integrate(Vectorize(function(y) integrate(function(x) abs(x-y), -1, 1)$value), -1, 1)y obtener una aproximación numérica. Se puede usar el paquete cubatureadaptIntegrate(function(x) abs(x[1] - x[2]), c(-1, -1), c(1, 1)) . Esto es solo para dar un par de ideas para la evaluación numérica de integrales que podrían ser útiles, por ejemplo, al probar si una simulación funciona correctamente.

— NRH

Solo como referencia, una integral de baja dimensión como esa generalmente se realiza de manera más eficiente a través de una cuadratura determinista en lugar de Monte Carlo. Monte Carlo tiene su propia dimensión de 4 a 6 dimensiones. Primero tengo que aprenderlo en dimensiones bajas, por supuesto ...

— usuario873
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Supongo que es por eso que esta pregunta está etiquetada como tarea :-).

— whuber

Puedes hacerlo en Excel con Tukhi .

Entrar

=tukhi.average(abs(2*rand()-1 - (2*rand()-1)))

y presiona el botón de correr.

— Keith A. Lewis
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