La paradoja del mago de prestigio

Probablemente conozcas el truco en la película The Prestige :

[SPOILER DE PELÍCULA] Un mago ha encontrado un impresionante truco de magia: entra en una máquina, cierra la puerta y luego desaparece y reaparece en el otro lado de la habitación. Pero la máquina no es perfecta: en lugar de simplemente teletransportarse, lo duplica. El mago se queda donde está y se crea una copia al otro lado de la habitación. Luego, el mago en la máquina cae discretamente en un tanque de agua debajo del piso y se ahoga. Editar: La probabilidad de que la nueva copia del mago se ahogue es 1/2 (en otras palabras, la nueva copia tiene 1/2 posibilidades de ahogarse y 1/2 posibilidades de aparecer en la habitación). Además, el tanque de agua nunca falla y es probable que el mago que cae en el tanque muera.

Entonces al mago realmente no le gusta hacer este truco, porque "nunca sabes dónde vas a estar, al otro lado de la habitación o ahogado".

Ahora, la paradoja es la siguiente: Imagina que el mago hace el truco 100 veces. ¿Cuáles son sus posibilidades de sobrevivir?

Edición, pregunta adicional: ¿Cuáles son las posibilidades del mago de mantener su cerebro físico y no tener uno nuevo?

Análisis rápido: por un lado, hay un mago vivo y 100 magos ahogados, por lo que sus posibilidades son 1 de cada 100.

Por otro lado, cada vez que hace el truco, tiene 1/2 posibilidades de mantenerse con vida, por lo que sus posibilidades son de mantenerse con vida.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

¿Cuál es la respuesta correcta y por qué?

Este error se puso de manifiesto en conversaciones escritas entre Fermat, Pascal y eminentes matemáticos franceses en 1654 cuando los dos primeros consideraban el "problema de los puntos". Un ejemplo simple es este:

Dos personas apuestan por el resultado de dos lanzamientos de una moneda justa. El jugador A gana si cualquiera de las dos vueltas es cara; de lo contrario, el jugador B gana. ¿Cuáles son las posibilidades de ganar del jugador B?

El argumento falso comienza examinando el conjunto de resultados posibles, que podemos enumerar:

1. H : El primer giro son las cabezas. El jugador A gana.
2. TH : Solo la segunda vuelta es cara. El jugador A gana.
3. TT : No hay volteo de cabezas. El jugador B gana.

Debido a que el jugador A tiene dos posibilidades de ganar y B solo tiene una oportunidad, las probabilidades a favor de B son (según este argumento) 1: 2; es decir, las posibilidades de B son 1/3. Entre los que defendieron este argumento se encontraba Gilles Personne de Roberval , miembro fundador de la Academia Francesa de Ciencias.

El error está claro para nosotros hoy, porque hemos sido educados por personas que aprendieron de esta discusión. Fermat argumentó (correctamente, pero no de manera muy convincente) que el caso (1) realmente tiene que considerarse dos casos, como si el juego se hubiera jugado a través de ambos cambios sin importar qué. Invocar una secuencia hipotética de volteretas que no se jugó realmente inquieta a muchas personas. Hoy en día podríamos encontrar más convincente solo calcular las probabilidades de los casos individuales: la probabilidad de (1) es 1/2 y las posibilidades de (2) y (3) son cada 1/4, de ahí la posibilidad de que A gana es igual a 1/2 + 1/4 = 3/4 y la probabilidad de que B gane es 1/4. Estos cálculos se basan en axiomas de probabilidad, que finalmente se resolvieron a principios del siglo XX, pero fueron establecidos esencialmente en la caída de 1654 por Pascal y Fermat y popularizados en toda Europa tres años después por Christian Huyghens en su breve tratado sobre probabilidad (el primero alguna vez publicado), De ratiociniis en ludo aleae (calculando en juegos de azar).

La presente pregunta puede modelarse como 100 lanzamientos de monedas, con caras que representan la muerte y colas que representan la supervivencia. El argumento para "1 en 100" (que realmente debería ser 1/101, por cierto) tiene exactamente el mismo defecto.

Por un lado, hay un mago vivo y 100 magos ahogados, por lo que sus posibilidades son de 1 de cada 100.

Ese razonamiento supone implícitamente que cada mago es igualmente probable que sea el que sobreviva al final del proceso. Sin embargo, solo el original tendría que soportar las 100 pruebas y tendría las peores probabilidades. Contraste el original con el último clon que se crea; solo necesita sobrevivir una vez y tiene una probabilidad de 1 en 2 de ser el único sobreviviente.

$\frac{1}{2^{100}}$

La probabilidad de que sobreviva es de 1 en cada intento, y la probabilidad de que muera en cada intento (a pesar de la falla del tanque de agua). Después de duplicar, ya no hay "él"; hay "hims".