Para responder a esta pregunta necesitamos un poco de antecedentes y notación. En la terminología general, denota un proceso de punto en el plano, lo que significa que para cualquier conjunto de Borel, , en el plano, es una variable aleatoria de valor entero (incluyendo ), que cuenta el número de puntos en . Además, es una medida para cada realización del proceso de punto .NAN(A)+∞AA↦N(A)N
Asociado con el proceso de puntos está la medida de expectativa
donde la expectativa siempre está bien definida, ya que , pero puede ser . Se deja como ejercicio para verificar que sea nuevamente una medida. Para evitar problemas técnicos, supongamos que , que también es razonable si el proceso solo vive realmente en un conjunto acotado, como el cuadro de la figura que publicó el OP. Esto implica que como para todos .
A↦μ(A):=E(N(A))
N(A)≥0+∞μμ(R2)<∞N(A)<∞A
Siguen las siguientes definiciones y observaciones.
Resumen I: Hemos demostrado que siempre que un proceso puntual es una suma o superposición de dos procesos puntuales con intensidades, la superposición tiene como intensidad la suma de las intensidades. Si, además, los procesos son independientes de Poisson, la superposición es Poisson.
Para la parte restante de la pregunta, suponemos que como para todos los conjuntos de singleton . Entonces el proceso puntual se llama simple. Los procesos de Poisson con intensidades son simples. Para un proceso de puntos simple, hay una representación de como
es decir, como una suma de medidas de Dirac en los puntos aleatorios. Si son variables aleatorias de Bernoulli, un adelgazamiento aleatorio es el proceso de punto simple
Está bastante claro que con
se sostiene que . Si hacemos iidN({x})≤1{x}N
N=∑iδXi,
Zi∈{0,1}N1=∑iZiδXi.
N2=∑i(1−Zi)δXi
N=N1+N2adelgazamiento aleatorio, lo que significa que las son independientes y están distribuidas de manera idéntica con probabilidad de éxito , digamos, entonces
A partir de esto,
Zip
N1(A)∣N(A)=n∼Bin(n,p).
E(N1(A))=E(E(N1(A)∣N(A)))=E(N(A)p)=pμ(A).
Si es un proceso de Poisson, debe quedar claro que para A_1 entonces son nuevamente independientes y
Esto muestra que es un proceso de Poisson. Del mismo modo, es un proceso de Poisson (con medida mediaNA1,…,AnN1(A1),…,N1(An)
P(N1(A)=k)====∑∞n=kP(N1(A)=k∣N(A)=n)P(N(A)=n)e−μ(A)∑∞n=k(nk)pk(1−p)n−kμ(A)nn!(pμ)kk!e−μ(A)∑∞n=k((1−p)μ(A))n−k(n−k)!(pμ(A))kk!e−μ(A)+(1−p)μ(A)=e−pμ(A)(pμ(A))kk!.
N1N2(1−p)μ) Lo que queda es mostrar que y son, de hecho, independiente. Cortamos una esquina aquí y decimos que en realidad es suficiente mostrar que y son independientes para arbitraria , y esto se deduce de
N1N2N1(A)N2(A)AP(N1(A)=k,N2(A)=r)=====P(N1(A)=k,N(A)=k+r)P(N1(A)=k∣N(A)=k+r)P(N(A)=k+r)e−μ(A)(k+rk)pk(1−p)rμ(A)k+r(k+r)!e−pμ(A)(pμ(A))kk!e−(1−p)μ(A)((1−p)μ(A))rr!P(N1(A)=k)P(N2(A)=r).
Resumen II: Se concluye que el adelgazamiento aleatoria iid con probabilidad de éxito de un proceso de punto simple, , con intensidad resultados en dos procesos puntuales simples, y , con intensidades de y , respectivamente, y es la superposición de y . Si, por otra parte, es un proceso de Poisson entonces y son procesos de Poisson independientes.pNλN1N2pλ(1−p)λNN1N2NN1N2
Es natural preguntar si podríamos adelgazar independientemente sin suponer que los están distribuidos de manera idéntica y obtienen resultados similares. Esto es posible, pero un poco más complicado de formular, porque la distribución de debe estar vinculada a la alguna manera. Por ejemplo, para una función dada . Entonces es posible mostrar el mismo resultado que el anterior pero con la intensidad significa la función . Nos saltamos la prueba. La mejor referencia matemática general que cubre procesos de puntos espaciales es Daley y Vere-JonesZiZiXiP(Zi=1∣N)=p(xi)ppλp(x)λ(x). Un segundo cierre de estadísticas y algoritmos de simulación, en particular, es Møller y Waagepetersen .