Si y son eventos independientes, y y son eventos independientes, ¿cómo demuestro que y son independientes?

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Que y sean eventos independientes, y que y sean eventos independientes. ¿Cómo demuestro que y son eventos independientes? $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

Según la definición de eventos independientes, y son independientes si y solo si $A$ $B\cup C$

P (A \cap (B \cup C)) = P (A) P (B \cup C) .

$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$

Como y y y son independientes, sé que $A$ $B$ $A$ $C$

P (A \cap B) = P (A) P (B) and P (A \cap C) = P (A) P (C) .

$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$

Sin embargo, no tengo idea de cómo resolver esto. Intenté aplicar las reglas de probabilidad que conozco pero no llegué a ninguna parte.

probability self-study independence

— jenn
fuente

Agregue la [self-study]etiqueta y lea su wiki .

— gung - Restablece a Monica

3

Me parece un poco decepcionante que la gente haya hecho el problema aquí. Independientemente de si la etiqueta de "autoestudio" está ahí, todos sabemos lo que es para mí decir una respuesta y cómo es ser conducido a una. Este último es casi siempre más significativo.

— jlimahaverford

Te voté, ahora incluso me pregunto si faltan algo tanto para mi solución como para la solución de jtobin. Dado que ambos suponemos que A, B y C son mutuamente independientes, lo que podría no ser correcto.

— Deep North

Hmmm Ese es un buen punto. Realmente voy a resolver esto yo mismo.

— jlimahaverford

3

Lo que es especialmente decepcionante es que esta pregunta ha recibido tres respuestas incorrectas, aunque dos aún pueden modificarse. Considere dos lanzamientos independientes de una moneda justa y deje que y sean los eventos en los que el primer y el segundo lanzamiento resultaron en Cara y Cruz respectivamente, y el evento de que exactamente un lanzamiento dio como resultado Heads. Por lo tanto, , , de modo que son independientes como son . Pero , es decir, y

B = {H T, H H}

$B= \{HT,HH\}$

C = {H T, T T}

$C=\{HT,TT\}$

A = {H T, T H}

$A=\{HT,TH\}$

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac 12$

P (A \cap B) = P (A \cap C) = \frac{1}{4}

$P(A\cap B)=P(A\cap C)=\frac 14$

A, B

$A,B$

A, C

$A,C$

P (B \cup C) = \frac{3}{4}, P (A \cap (B \cup C) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(B\cup C)=\frac 34,P(A\cap(B\cup C)=\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$ son dependientes

— Dilip Sarwate

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Dejar $A$ y $B$ ser eventos independientes, y dejar $A$ y $C$ Ser eventos independientes. ¿Cómo muestro eso? $A$ y $B\cup C$ son eventos independientes también?

No puede mostrar este resultado porque no es válido para todos $A, B, C$ disfrutando de estas propiedades. Considere el siguiente contraejemplo.

Considere dos lanzamientos independientes de una moneda justa. Dejar $B=\{HT,HH\}$ y $C=\{HT,TT\}$ sean los eventos que el primer y el segundo lanzamiento resultaron en cara y cruz respectivamente. Dejar $A=\{HT,TH\}$ sea el caso de que exactamente un lanzamiento resulte en Jefes.

Entonces, $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ mientras $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ y entonces $A$ y $B$ son eventos independientes como son $A$ y $C$ Eventos independientes. En efecto, $B$ y $C$ también son eventos independientes (es decir, $A$ , $B$ y $C$ son eventos independientes por pares ). Sin embargo,

P (A) = \frac{1}{2} and P (B \cup C) = \frac{3}{4} while P (A \cap (B \cup C)) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$ y entonces

A

$A$ y

B \cup C

$B\cup C$ son eventos dependientes

Dejando de lado nuestro contraejemplo, consideremos qué condiciones se necesitan para hacer $A$ y $B\cup C$ Eventos independientes. Las otras respuestas ya han hecho el trabajo por nosotros. Tenemos eso

\begin{aligned} P (A \cap (B \cup C)) & = P ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ = P (A \cap B) + P (A \cap C) - P (((A \cap B) \cap (A \cap C)) \\ = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A \cap B \cap C) \\ = P (A) (P (B) + P (C) - P (B \cap C)) + (P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)) \\ = P (A) P (B \cup C) + [P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)] \end{aligned}

$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$ y entonces

P (A \cap (B \cup C))

$P(A\cap (B\cup C))$ es igual

P (A) P (B \cup C)

$P(A)P(B \cup C)$ (como se necesita para demostrar que

A

$A$ y

B \cup C

$B\cup C$ son eventos independientes) exactamente cuando

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$ es igual

P (A \cap B \cap C) = P (A \cap (B \cap C))

$P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$ , Eso es cuando

A

$A$ y

B \cap C

$B\cap C$ Son eventos independientes.

$A$ y $B\cup C$ son eventos independientes cada vez $A$ y $B\cap C$ Son eventos independientes.

Tenga en cuenta que si $B$ y $C$ son independientes o no, no es relevante para el problema en cuestión: en el contraejemplo anterior, $B$ y $C$ fueron eventos independientes y sin embargo $A = \{HT, TH\}$ y $B\cap C = \{HT\}$ No fueron eventos independientes. Por supuesto, como señaló Deep North, si $A$ , $B$ y $C$ son eventos mutuamente independientes (que requieren no solo independencia de $B$ y $C$ pero también para $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ sostener), entonces $A$ y $B\cap C$ son, de hecho, eventos independientes. Independencia mutua de $A$ , $B$ y $C$ Es una condición suficiente .

De hecho, si $A$ y $B\cap C$ son eventos independientes, entonces, junto con la hipótesis de que $A$ y $B$ son independientes, como son $A$ y $C$ eventos independientes, podemos demostrar que $A$ es independiente de todos $4$ de los eventos $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$ es decir, de todos $16$ eventos en el $\sigma$ -álgebra generada por $B$ y $C$ ; uno de estos eventos es $B\cup C$ .

— Dilip Sarwate
fuente

Agregaría que una forma trivial de hacer que la condición enmarcada se mantenga es

B

$B$ y

C

$C$ disjunto, desde entonces

P (B \cap C) = 0

$P(B\cap C)=0$ .

— Miguel

@ Miguel Sí, esa es otra condición suficiente para

A

$A$ y

B \cup C

$B\cup C$ ser eventos independientes, como la independencia mutua de

A, B, C

$A,B,C$ es una condición suficiente como dice mi respuesta. Mi respuesta es sobre cuál es la condición necesaria para

A

$A$ y

B \cup C

$B\cup C$ ser eventos independientes

— Dilip Sarwate

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Dos cosas.

1) ¿Hay alguna forma de reescribir el evento? $A \cap (B\cup C)$ . Intuitivamente, sabemos cómo interactúan A, B y A, C, pero no sabemos cómo interactúan B, C. Entonces $(B\cup C)$ se está interponiendo en nuestro camino.

2) ¿Hay alguna forma de reescribir? $P(X\cup Y)$ ?

Incluso si no obtiene la respuesta de inmediato, edite su respuesta con las respuestas a estas preguntas y pasaremos de allí.

editar

Por favor verifícame sobre esto. Creo que tengo un contraejemplo.

Tirando un dado para obtener X.

A: X <4

B: X en {1, 4}

C: X en {1, 5}

— jlimahaverford
fuente

1

Me gustaría ir por esta respuesta! ¡Intenta resolverlo tú mismo! ¡no ganas demasiado con solo ver la respuesta!

— Gumeo

2

Según el comentario de Dilip Sarwate, estos eventos son demostrablemente no independientes.

La forma típica en que trataría de probar la independencia es así:

\begin{aligned} P (A, B \cup C) & = P ({A, B} \cup {A, C}) & distributive property \\ = P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) & sum rule \end{aligned}

$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$

y aquí te gustaría factorizar $P(A)$ out of the expression in order to establish the property $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$ , which would be sufficient to prove independence. However if you try to do that here, you get stuck:

P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) = P (A) {P (B) + P (C) - P (B, C | A)}

$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$

Note that the braced expression is almost $P(B) + P(C) - P(B,C)$ , which would get you to your goal. But you have no information that allows you to reduce $P(B,C \, | \, A)$ any further.

Note that in my original answer I had sloppily asserted that $P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$ and thus erroneously claimed that the result asked to be proved was true; it's easy to mess up!

But given that it proves to be difficult to demonstrate independence in this way, a good next step is to look for a counterexample, i.e. something that falsifies the claim of independence. Dilip Sarwate's comment on the OP includes exactly such an example.

— jtobin
fuente

Why is

P (A, B, C)

$P(A,B,C)$ on the second line equal to

P (A) P (B, C)

$P(A)P(B,C)$ on the third line? It is not given that

A

$A$ is independent of

B \cap C

$B\cap C$ , just of

B

$B$ , and of

C

$C$ _separately.

— Dilip Sarwate

So, after your edit, is it just the derivation that is sloppy but the result claimed is itself correct, that is,

A

$A$ is indeed independent of

B \cup C

$B\cup C$ as the OP is tasked with proving? Or is it that the derivation does not prove the claim that

A

$A$ is independent of

B \cup C

$B\cup C$ ?

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate My derivation does not prove the claim; my edit also changed the erroneous

=

$=$ assertion to

\neq

$\neq$ in an attempt to make this clear. I'll edit the answer again to be more explicit.

— jtobin

OK, +1 for fixing your answer.

— Dilip Sarwate

1

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

Now, we need to show $P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

If $A, B,C$ are mutually independent,the results are obvious.

While the condition is $A$ and $B$ are independent and $A$ and $C$ are independent do not guarantee independent of $B$ and $C$

Therefore, the OP may need to reexamine the condition of the question.

— Deep North
fuente

In your second long equation, you got a

- P (A) P (B \cap C)

$-P(A)P(B\cap C)$ term when you multiplied out that middle expression. But you wrote

- P (A \cap B \cap C)

$-P(A\cap B \cap C)$ instead, that is, you equated

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$ and

P (A \cap B \cap C)

$P(A\cap B \cap C)$ , in effect assuming that

A

$A$ and

B \cap C

$B\cap C$ are independent. Why is that?

— Dilip Sarwate

Thanks, it is an assumed independent which may not be correct.

— Deep North

-1

P{A(B+C)}=P(AB+BC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(BC) [A,B,C are mutually independent] =P(A)[P(B)+P(C)-P(BC)] =P(A)P(B+C) Hence A and B+C are independent.

— Srishti Mondal
fuente