OLS en términos de medias y tamaño de muestra

Dado un modelo:

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u$$

Donde es ficticio si es hembra y caso contrario, y es altura en cm. El tamaño de la muestra es en total. Además y . Calcular las estimaciones de los parámetros.$f$$=1$$0$$n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$$\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$

Mi intento:

Usando la fórmula bien conocida:

$$\boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$ obtengo: $$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix}$$

Primero, los elementos en $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ , dado que $X$ es solo un grupo, hay 100 hembras en la muestra y hay 200 machos y hembras en total. Para $\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$ , el primer elemento es la "gran media" de 170, y el segundo es solo la media de la muestra de estatura para las mujeres. Ambos están escalados en 200, ya que no "reduje" $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ .

Es la correcta? Pregunto, porque la solución (al multiplicar) da como resultado algunos (muy) impares números.

El enfoque es correcto, pero hay un ligero error numérico: solo hay mujeres, no . Las alturas medias para hombres y mujeres se pueden convertir en sumas a través de$100$$200$

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

y

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

Por lo tanto, la suma de todas las alturas es

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

como se indica en la pregunta. En consecuencia, las ecuaciones normales son

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

( no en el lado derecho), con solución$165\cdot 200$

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

Estoy bastante confundido. Que decir ¿Son estos residuos? Si es así, entonces$u$

$\mathbf{X'X}$ =$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

ya que

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

=

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

Algunos pensamientos:

Dada su ecuación mi opinión debería ser 175 y = -10. Entonces, para la parte masculina y femenina obtienes:$\beta_1$$\beta_2$

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

Ya que puedes usar

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

para resolver usando el pseudoinverso de Moore-Penrose .$\beta$

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

Ahora contiene:$\mathbf{y}$

$\mathbf{y} \approx \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

¡Espero eso ayude!