Probar una secuencia disminuye (respaldado por trazar una gran cantidad de pts)

Muchas de las preguntas que publiqué en SE en el último mes han tenido como objetivo ayudarme a resolver este problema en particular. Todas las preguntas han sido respondidas, pero todavía no puedo encontrar una solución. Entonces, pensé que debería preguntar el problema que estoy tratando de resolver directamente.

Sea , donde , , (entero), y cada es un cdf sobre . $X_n \sim F_n$ $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ $F_0 = x$ $c\geq 2$ $F_n$ $(0,1)$

¡Quiero demostrar que disminuye con para todo (o incluso, para cualquier particular )! Puedo mostrar que converge a una masa de Dirac en la solución única para Para , $\mathbb{E}X_n$ $n$ $c$ $c$ $F_n$ $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ $c=2$ . Cuando se observa una gráfica de cdfs para aumentar's para la misma, todos los cdfs se cruzan en. El valor dedisminuye para valores demenores quey aumenta para valores demayores que(a medida queaumenta) que convergen a una línea vertical en. $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ $n$ $c$ $x_n$ $F(x)$ $x$ $x_n$ $x$ $x_n$ $n$ $x_n$

A continuación se muestra una gráfica de para a para a . Por supuesto, es una trama discreta, pero tengo las líneas unidas para facilitar la visualización. Para generar esta gráfica, utilicé NIntegrate en Mathematica, aunque necesitaba hacerlo en , ya que por alguna razón Mathematica no pudo generar respuestas en valores altos de para la función original. Los dos deben ser equivalentes, según el teorema de Young, $\mathbb{E}X_n$ $n = 1$ $40$ $c = 2$ $7$ $1-F^{-1}_n$ $n$ . En mi caso, $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ ,. $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ $F^{-1}_n = x$

ingrese la descripción de la imagen aquí

$EX_n$ $x_c$ $c$

$EX_n$ $n$ $c$ $c$

— OctaviaQ
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Z n = E X_{n} - E X_{n - 1}

$Zn = EX_n - EX_{n-1}$

@Iterator: He intentado (MUCHO) pero no he tenido éxito.

— OctaviaQ

Si. +1 y eliminé mi comentario anterior.

— finnw

@Jand: lamentablemente tendré que retirar mi reclamo de prueba por el momento. Encontré un agujero que aún no he podido reparar. Disculpas Debería haber sido más cuidadoso antes de publicar algo. Lo revisé varias veces, pero no encontré el problema hasta esta última vez que lo revisé.

— cardenal

@Jand: Tienes una pregunta muy similar (pero ligeramente diferente) sobre matemáticas . SE . ¿Puede aclarar si realmente está interesado en ambos o solo en uno de ellos y por qué?

— cardenal

Esto ha sido respondido en MO por Pietro Majer aquí .

— OctaviaQ
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