¿Por qué una variable aleatoria "binomial negativa" se llama así?

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No entiendo por qué la variable aleatoria "binomial negativa" tiene ese nombre. ¿Qué tiene de negativo? ¿Qué tiene de binomial? ¿Qué tiene de negativo el binomio?

— Hatshepsut
fuente

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También vea los comentarios bajo esta pregunta más general , que realmente merece una respuesta adecuada, mea culpa .

— Glen_b -Reinstale a Monica el

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Es una referencia al hecho de que cierto coeficiente binomial que aparece en la fórmula para esa distribución se puede escribir más simplemente con números negativos.

Cuando realiza una serie de experimentos con probabilidad de éxito , la probabilidad de que vea fallas después de exactamente pruebas es $p$ $r$ $k$

${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ .

Esto también se puede escribir como

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

y la palabra "negativo" se refiere a ese $−r$ en ese coeficiente binomial. Observe cómo esta fórmula se parece a la fórmula para la distribución binomial ordinaria, excepto por el coeficiente de ese signo.

Otro nombre para la distribución binomial negativa es la distribución de Pascal, por lo que también existe.

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Respuesta más detallada según Wikipedia:

La función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa es

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Aquí la cantidad entre paréntesis es el coeficiente binomial, y es igual a

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ .

Esta cantidad se puede escribir alternativamente de la siguiente manera, explicando el nombre "binomio negativo":

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ .

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No entiendo tu afirmación "Cuando realizas una serie de experimentos con probabilidad de éxito p, la probabilidad de que veas fallas después de exactamente k pruebas es ...". Me parece que la fórmula debería ser . ¿Dónde obtuvo la fórmula que enumeró? Sospecho que tal vez no estás describiendo el proceso aleatorio del todo bien. ¿Se refiere a la probabilidad de obtener exactamente fallas después de realizar ensayos? Si es así, ¿no debería el ser ? ¿Que está pasando aqui? ¿Puedes definir el evento al que te refieres con más cuidado?

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

— DW

@DW Fue una formulación desafortunada. Lo que se quiere decir no es una probabilidad de ver fallas dado que se han realizado ensayos, sino una probabilidad de necesitar ensayos para observar fallas.

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

— ameba dice Reinstate Monica el

-4

Ciudadanos de StatsExchange, Primero, las buenas noticias, este autor copia la fórmula de Wikipedia para que todo esté bien allí. La descripción que escribió este autor era incorrecta. Debería haber escrito la probabilidad de obtener r fallas después de k + r senderos.
Tenga en cuenta que en las primeras pruebas k + r-1 hay exactamente fallas r-1 y k éxitos. Por lo tanto, la fórmula incluye correctamente (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Entonces, por definición, la prueba final, es decir, la prueba k + r, debe ser la falla r. Este evento es independiente, por lo que simplemente multiplicamos su probabilidad 1-p para encontrar la probabilidad establecida.

— Shawn Berry
fuente

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— Ertxiem - reinstalar a Monica el