Son las variables aleatorias

¿Podemos decir algo sobre la dependencia de una variable aleatoria y una función de una variable aleatoria? Por ejemplo, ¿ $X^2$ depende de $X$ ?

probability random-variable

— Rohit Banga
fuente

X

$X$ y

f (X)

$f(X)$ son independientes, entonces

f (X)

$f(X)$ es constante casi con seguridad. Es decir, existe

a

$a$ tal que

P (f (X) = a) = 1

$\mathbb P(f(X) = a) = 1$ .

— cardenal

@cardinal: ¿por qué no responder eso ?

— Karl

@cardinal, quería pedirle a John que explique su comentario. Di por sentado que la función considerada era una función determinada y determinista. En el proceso, terminé escribiendo un argumento para el resultado que declaraste en su lugar. Cualquier comentario es bienvenido y apreciado.

— NRH

Sí,

X^{2}

$X^2$ depende de

X

$X$ , ya que si conoce

X

$X$ entonces conoce

X^{2}

$X^2$ .

X

$X$ e

Y

$Y$ son independientes sólo si el conocimiento del valor de

X

$X$ no afectó a su conocimiento de la distribución de

Y

$Y$ .

— Henry

@iamrohitbanga: Si

entonces

casi con seguridad. Entonces,

es independiente de

en este caso muy particular.

X \in {- 1, 1}

$X \in \{-1,1\}$

X^{2} = 1

$X^2 = 1$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

— cardenal

Respuestas:

Aquí hay una prueba del comentario de @ cardinal con un pequeño giro. Si y son independientes entonces $X$ $f(X)$ Al tomarobtiene la ecuación que tiene las dos soluciones 0 y 1. Por lo tanto,

\begin{array}{lcl} P (X \in A \cap f^{- 1} (B)) & = & P (X \in A, f (X) \in B) \\ = & P (X \in A) P (f (X) \in B) \\ = & P (X \in A) P (X \in f^{- 1} (B)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$

A = f^{- 1} (B)

$A = f^{-1}(B)$

P (f (X) \in B) = P (f (X) \in B)^{2},

$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$

para todos

. En general, no es posible decir más. Si

P (f (X) \in B) \in {0, 1}

$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$

B

$B$

X

$X$

son independientes, entonces

es una variable tal que para cualquier

está en

o en

con probabilidad 1. Para decir más, uno necesita más suposiciones, por ejemplo, que ese singleton establece

son medibles.

f (X)

$f(X)$

f (X)

$f(X)$

B

$B$

B

$B$

B^{c}

$B^c$

{b}

$\{b\}$

Sin embargo, los detalles en el nivel teórico de la medida no parecen ser la principal preocupación del OP. Si es real es una función real (y usamos el álgebra Borel , por ejemplo), entonces tomar $X$ $f$ $\sigma$ se deduce que la función de distribución para la distribución de solo toma valores 0 y 1, por lo tanto hay una $B = (-\infty, b]$ $f(X)$ $b$ en la que salta de a y $0$ $1$ $P(f(X) = b) = 1$ .

Al final del día, la respuesta a la pregunta de los OP es que y son generalmente dependientes y solo independientes en circunstancias muy especiales. Además, la medida de Dirac siempre califica para una distribución condicional de $X$ $f(X)$ $\delta_{f(x)}$ dado , que es una forma formal de decir que conociendo , también se sabe exactamente qué $f(X)$ $X = x$ $X = x$ $f(X)$ es. Esta forma especial de dependencia con una distribución condicional degenerada es característica de funciones de variables aleatorias.

— NRH
fuente

(+1) Lo siento. Mientras redactaba mi respuesta, no recibí una actualización de que tú también la hayas enviado. :)

— cardenal

Lema : Let una variable aleatoria y dejar que sea un (Borel medible) función tal que y son independientes. Entonces es constante casi con seguridad. Es decir, hay alguna tal que . $X$ $f$ $X$ $f(X)$ $f(X)$ $a \in \mathbb R$ $\mathbb P(f(X) = a) = 1$

La prueba está abajo; pero, primero, algunas observaciones. La mensurabilidad de Borel es solo una condición técnica para garantizar que podamos asignar probabilidades de una manera razonable y consistente. La declaración "casi segura" también es solo un tecnicismo.

La esencia del lema es que si queremos y $X$ sean independientes, entonces nuestros únicos candidatos son funciones de la forma . $f(X)$ $f(x) = a$

Contrasta esto con el caso de funciones tal que y son correlacionados . Esta es una condición mucho, mucho más débil. De hecho, considere cualquier variable aleatoria con media cero, tercer momento absoluto finito y que sea simétrica con respecto a cero. Tome , como en el ejemplo de la pregunta. Entonces $f$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(x) = x^2$ , entonces y no están correlacionados. $\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$ $X$ $f(X) = X^2$

A continuación, doy la prueba más simple que pude encontrar para el lema. Lo hice extremadamente detallado para que todos los detalles sean lo más obvios posible. Si alguien ve maneras de mejorarlo o simplificarlo, me encantaría saberlo.

Idea de prueba : Intuitivamente, si conocemos , entonces sabemos . Entonces, necesitamos encontrar algún evento en , el álgebra sigma generado por , que relacione nuestro conocimiento de con el de . Luego, usamos esa información junto con la supuesta independencia de y $X$ $f(X)$ $\sigma(X)$ $X$ $X$ $f(X)$ $X$ para demostrar que nuestras opciones disponibles para se han limitado gravemente. $f(X)$ $f$

Prueba de lema : recuerde que e son independientes si y solo si para todos y , . Deje para alguna función medible de Borel $X$ $Y$ $A \in \sigma(X)$ $B \in \sigma(Y)$ $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$ $Y = f(X)$ $f$ que e sean independientes. Definir $X$ $Y$ . Entonces, y desde $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

A (y) = {ω : X (ω) \in f^{- 1} ((- \infty, y])}

$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$

(- \infty, y]

$(-\infty,y]$ es un conjunto de Borel

es medible por Borel, entonces

f

$f$

f^{- 1} ((- \infty, y])

$f^{-1}((-\infty,y])$ es también un conjunto Borel. Esto implica que

(pordefinición(!) de

A (y) \in σ (X)

$A(y) \in \sigma(X)$

σ (X)

$\sigma(X)$

$X$ $Y$ $A(y) \in \sigma(X)$

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (X \in A (y)) P (Y \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$

y \in R

$y \in \mathbb R$

A (y)

$A(y)$

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (f (X) \leq y, Y \leq y) = P (f (X) \leq y) .

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$

y \in R

$y \in \mathbb R$ ,

P (f (X) \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$ so

P (f (X) \leq y) = 0

$\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or

P (f (X) \leq y) = 1

$\Pr(f(X) \leq y) = 1$ . This means there must be some constant

a \in R

$a \in \mathbb R$ such that the distribution function of

f (X)

$f(X)$ jumps from zero to one at

a

$a$ . In other words,

f (X) = a

$f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.

— cardinal
fuente

+1, I should be sorry - to steal your argument is not very polite. It's great that you spelled out the difference between independence and being uncorrelated in this context.

— NRH

No hay "robo" involucrado, ni descortés. :) Aunque muchas de las ideas y comentarios son similares (¡como es de esperar para una pregunta como esta!), Creo que las dos publicaciones son muy complementarias. En particular, me gusta cómo al principio de su publicación no se limitó a variables aleatorias de valor real.

— cardinal

@NRH acepta su respuesta como la parte inicial de su prueba parece más fácil de entender para un novato como yo. Sin embargo, +1 cardinal por su respuesta.

— Rohit Banga