¿Cuándo convergen las aproximaciones de la serie Taylor a las expectativas de funciones (completas)?

Tome una expectativa de la forma para alguna variable aleatoria univariada y una función completa (es decir, el intervalo de convergencia es toda la línea real) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

Tengo una función de generación de momentos para y, por lo tanto, puedo calcular fácilmente momentos enteros. Use una serie de Taylor alrededor de y luego aplique la expectativa en términos de una serie de momentos centrales, Truncar esta serie, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Mi pregunta es: ¿bajo qué condiciones en la variable aleatoria (y también en cualquier cosa adicional en $f(\cdot)$ ) converge la aproximación de la expectativa cuando agrego términos (es decir, $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Dado que no parece converger para mi caso (una variable aleatoria de Poisson $f(x) = x^{\alpha}$ ), ¿hay otros trucos para encontrar expectativas aproximadas con momentos enteros cuando estas condiciones fallan?

expected-value approximation

— jlperla
fuente

ver aquí: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@ Jonathan Gracias. Vea mis ediciones ahora que se ha vuelto más claro. Muy útil, aunque no pude descifrarlo. A partir de esto, parece que una condición suficiente para que esto funcione es que mi variable aleatoria esté fuertemente concentrada. Aunque tengo problemas para descifrar exactamente cómo usar la Desigualdad de Hoeffding, etc. para comparar con estas notas.

— jlperla

¿Qué quiere decir "una variable aleatoria de Poisson "? ¿Es ese un caso o dos, y cuál es el pdf?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl Esto fue hace unos años, pero si recuerdo, la variable fue para algunos con PDF de en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Esa era la función sobre la que estaba asumiendo la expectativa. es decir,

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

no estoy seguro de lo que estas preguntando. ¿Qué tal si los momentos superiores de la distribución de Poisson sobre el origen son polinomios de Touchard en : donde las {llaves} indican los números de Stirling del segundo tipo?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

Respuestas:

Suponiendo que es analítico real, Converge casi seguro (de hecho seguro) a . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Una condición estándar bajo la cual la convergencia implica convergencia de expectativas, es decir, es que cuanto a algunos tal que . (Teorema de convergencia dominada).

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Esta condición se mantendría si la serie de potencia converge absolutamente como, es decir, y

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Su ejemplo de una variable aleatoria de Poisson , , sugeriría que la integrabilidad anterior del criterio de límite absoluto es la más débil posible, en general. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Miguel
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-1

La aproximación convergerá si la función f (x) admite la expansión de series de potencia, es decir, existen todas las derivadas. También se logrará completamente si las derivadas de un umbral específico y superior son iguales a cero. Puede referirse a Populis [3-4] y Stark y Woods [4].

— E. Mehrban
fuente

"También se logrará plenamente si los derivados de un umbral específico y superior son iguales a cero". Si las derivadas existen y son iguales a cero, ¿no es esa otra forma de decir polinomio?

— Acumulación

Esto no es verdad. Cuando "todos los derivados existen" en el punto de expansión de la serie de potencia, la serie de potencia no necesita converger en ningún lado. (El ejemplo estándar es la serie Maclaurin de ) Otra es que incluso cuando la serie converge en algún momento, no necesita converger en todas partes. Un ejemplo simple es la serie Maclaurin deCuando eso ocurre, la convergencia depende de los detalles de la variable aleatoria. Por ejemplo, supongamos que tiene alguna distribución t de Student y considere¡Finalmente, ni siquiera existe!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber