¿Qué significa "imparcialidad"?

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¿Qué significa decir que "la varianza es un estimador sesgado"?
¿Qué significa convertir una estimación sesgada en una estimación imparcial a través de una fórmula simple? ¿Qué hace exactamente esta conversión?
Además, ¿cuál es el uso práctico de esta conversión? ¿Convierte estos puntajes cuando usa cierto tipo de estadísticas?

theory unbiased-estimator descriptive-statistics

— por encima de
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Puedes encontrar todo aquí . Sin embargo, aquí hay una breve respuesta.

Sean y la media y la varianza de interés; desea estimar base a una muestra de tamaño . $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma^2$ $n$

Ahora, digamos que usa el siguiente estimador:

, $S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_{i} - \bar{X})^2$

donde es el estimador de. $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $\mu$

No es demasiado difícil (ver nota al pie) ver que . $E[S^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2$

Como , se dice que el estimador está sesgado. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$

Pero, observe que . Por lo tanto $E[\frac{n}{n-1} S^2] = \sigma^2$ es un estimador imparcial de. $\tilde{S}^2 = \frac{n}{n-1} S^2$ $\sigma^2$

Nota

Comience escribiendo y luego expanda el producto ... $(X_i - \bar{X})^2 = ((X_i - \mu) + (\mu - \bar{X}))^2$

Editar para tener en cuenta sus comentarios

El valor esperado de no da (y, por lo tanto, está sesgado), pero resulta que puede transformar en para que la expectativa dé . $S^2$ $\sigma^2$ $S^2$ $S^2$ $\tilde{S}^2$ $\sigma^2$

En la práctica, a menudo se prefiere trabajar con lugar de . Pero, si es lo suficientemente grande, este no es un gran problema ya que $\tilde{S}^2$ $S^2$ $n$ . $\frac{n}{n-1} \approx 1$

Observación Tenga en cuenta que la imparcialidad es una propiedad de un estimador, no de una expectativa como usted escribió.

— ocram
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1

Quiero decir más en términos teóricos. Puedo encontrar la fórmula en cualquier libro, pero me interesa más la explicación en palabras. ¿La expectativa de sigma es imparcial y podemos transformar la estimación en expectativa?

— Upabove

También estoy preguntando sobre los aspectos prácticos de esto, ¿utiliza esta conversión al realizar análisis?

— Upabove

@ocram ¿Qué es

? ¿Es el tamaño de la muestra? ¿O número de muestras tomadas? ¿O ambos?

n

$n$

— quirik

@quirik: se supone que se toma una sola muestra y que esta muestra es de tamaño n

— ocram

@ocram ¿Cómo calculamos el valor esperado de varianza si tenemos una muestra? ¿Qué me estoy perdiendo?

— quirik

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Esta respuesta aclara la respuesta de ocram. La razón clave (y un malentendido común) para es que usa la estimación que se estima a partir de los datos. $E[S^2] \neq \sigma^2$ $S^2$ $\bar{X}$

$E[(\bar{X}-\mu)^2]$ $-\frac{\sigma^2}{n}$

— Duro
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$s^2$ $n$ $s^2$ $n-1$

$P(2) = .25$ $P(6) = .75$ $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $\sigma$ $n = 3$ . Calculate all possible samples of size $n =3$ . Calculate $s^2$ over those samples, and apply appropriate frequencies.

Sometimes, you gotta get your hands dirty.

— Adam
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gracias por tu ayuda. Algunas preguntas: En su ejercicio: ¿a qué tipo de distribución se refiere, Binomial? ¿Qué quieres decir con una probabilidad discreta? ¿Quiere decir calcular todas las probabilidades de 2 y 6 sobre diferentes tamaños de muestra?

— upabove

1

Generalmente, usar "n" en el denominador da valores más pequeños que la varianza de la población, que es lo que queremos estimar. Esto sucede especialmente si se toman muestras pequeñas. En el lenguaje de las estadísticas, decimos que la varianza de la muestra proporciona una estimación "sesgada" de la varianza de la población y debe hacerse "imparcial".

Este video responderá adecuadamente cada parte de su pregunta.

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE

— Sahil Chaudhary
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