Varianza del producto de variables dependientes

¿Cuál es la fórmula para la varianza del producto de variables dependientes?

En el caso de variables independientes, la fórmula es simple:

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$$ Pero, ¿cuál es la fórmula para las variables correlacionadas?

Por cierto, ¿cómo puedo encontrar la correlación basada en los datos estadísticos?

Bueno, usando la identidad familiar que señaló,

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$$

Usando la fórmula análoga para la covarianza,

$$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$$

y

$$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

lo que implica que, en general, ${\rm var}(XY)$ puede escribirse como

$${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

Tenga en cuenta que en el caso de independencia, y esto se reduce a${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

$$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$$

y los dos términos cancelan y obtienes$[ E(X)E(Y) ]^{2}$

$${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$$

como señaló anteriormente.

Editar: si todo lo que observa es y no X e Y por separado, entonces no creo que haya una manera de estimar c o v ( X , Y ) o c o v ( X 2 , Y 2 ) excepto en casos especiales (por ejemplo, si X , Y tienen medios conocidos a priori )$XY$$X$$Y$${\rm cov}(X,Y)$${\rm cov}(X^2,Y^2)$$X,Y$

Esta es una adición a la muy buena respuesta de @ Macro que establece exactamente lo que se necesita saber para determinar la varianza del producto de dos variables aleatorias correlacionadas. Desde dondecov(X,Y),E[X],E[Y],

$$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,Y)$$E[X]$$E[Y]$ , y E [ Y 2 ] se puede suponer que son cantidades conocidas, necesitamos poder determinar el valor de E [ X 2 Y 2 ] en ( 2 ) o cov ( X 2 , Y 2 ) en ( 3 ) . Esto no es fácil de hacer en general, pero, como ya se señaló, si X e Y sonvariables aleatoriasindependientes, entonces cov ( X $E[X^2]$$E[Y^2]$$E\left[X^2Y^2\right]$$(2)$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(3)$$X$$Y$ . De hecho, ladependencia,no la correlación (o falta de ella) es la cuestión clave. Que sepamos que cov ( X , Y ) es igual a 0 en lugar de algún valor distinto de cero,por sí solo, noayuda en lo más mínimo en nuestros esfuerzos a determinar el valor de E [ X 2 Y 2 ] o cov ( X 2 , Y 2 ) a pesar de que $\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$$\operatorname{cov}(X,Y)$$0$$E\left[X^2Y^2\right]$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(2)$$(3)$

$X$$Y$$E\left[X^2Y^2\right]$

$X$$Y$$\rho$$X = x$$Y$$E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ and variance $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$. Thus,

$$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$$ which is a quartic function of $X$, say $g(X)$, and the Law of Iterated Expectation tells us that $$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$$ where the right side of $(4)$ can be computed from knowledge of the 3rd and 4th moments of $X$ -- standard results that can be found in many texts and reference books (meaning that I am too lazy to look them up and include them in this answer).

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Further addendum: In a now-deleted answer, @Hydrologist gives the variance of $XY$ as

$$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$$ and claims that this formula is from two papers published a half-century ago in JASA. This formula is an incorrect transcription of the results in the paper(s) cited by Hydrologist. Specifically, $\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ is a mistranscription of $E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$ in the journal article, and similarly for $\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$ and $\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$.