¿Cuál es la varianza del máximo de una muestra?

Estoy buscando límites en la varianza del máximo de un conjunto de variables aleatorias. En otras palabras, estoy buscando fórmulas de forma cerrada para $B$ , de modo que

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$ Donde

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$ es un conjunto fijo de

M

$M$ variables aleatorias con medios finitos

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$ y varianzas

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$ .

Puedo deducir que pero este límite parece muy flojo. Una prueba numérica parece indicar que podría ser una posibilidad, pero no he sido capaz de demostrar esto. Cualquier ayuda es apreciada.

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$

variance bounds maximum

— Peter
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(¿Quiere suponer que la

es independiente?) La conjetura es plausible pero parece ser falsa. Por ejemplo, realice algunas pruebas en las que

iid con CDF

. La varianza de su máximo, en relación con su varianza común, aumenta sin límite a medida que

crece.

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$

s > 3

$s\gt 3$

M

$M$

— whuber

@whuber Gracias, eso explica por qué no pude demostrar esa conjetura :) De hecho, estoy interesado en el caso en el que

es independiente. Solo para aclarar, me interesan principalmente los límites generales que usan solo los primeros dos momentos. No estoy seguro de si existen límites generales más agudos que la varianza común.

X_{i}

$X_i$

— Peter

Debo señalar que su suma enlazada (suponiendo que sea correcta, sería bueno ver un boceto de la prueba) es ajustada. Por ejemplo, que

se admitan en el intervalo

con variaciones que no excedan de

y que

se admitan en

. Entonces

como, con varianza

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

, pero la desigualdad se puede apretar tanto como desee reduciendo

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— whuber

Para los datos de iid, la teoría del valor extremo proporciona las clases de distribuciones a las que converge el máximo de muestra, con ciertas condiciones en las colas de las distribuciones originales que dan diferentes clases de distribuciones asintóticas. Por lo tanto, dudo que pueda derivar un buen límite basado solo en los dos momentos, aunque solo estoy tangencialmente familiarizado con la teoría.

— StasK

Respuestas:

Para cualquier variable aleatoria , el mejor límite general es como se indica en la pregunta original. Aquí hay un bosquejo de prueba: si X, Y son IID, entonces . Dado un vector de variables posiblemente dependientes $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ , sea un vector independiente con la misma distribución conjunta. Para cualquier , tenemos por la unión vinculada que $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ , e integrando este de a obtiene la desigualdad reclamada. $dr$ $0$ $\infty$

If $X_i$ are IID indicators of events of probability $\epsilon$ , then $\max X_i$ is an indicator of an event of probability $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ . Fixing $n$ and letting $\epsilon$ tend to zero, we get $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ and $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— Yuval Peres
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Una pregunta sobre MathOverflow está relacionada con esta pregunta.

$k$

$X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ , then the maximum is $1$ with probability $\approx 1- 1/e$ , so the variance of the population is $0.09$ while the variance of the maximum is about $0.23$ .

Here are two papers on the variances of order statistics:

Yang, H. (1982) "On the variances of median and some other order statistics." Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 10(2) pp. 197-204

Papadatos, N. (1995) "Maximum variance of order statistics." Ann. Inst. Statist. Math., 47(1) pp. 185-193

I believe the upper bound on the variance of the maximum in the second paper is $M\sigma^2$ . They point out that equality can't occur, but any lower value can occur for IID Bernoulli random variables.

— Douglas Zare
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