Si el fármaco no cura a los 1000 pacientes de prueba, ¿no podemos decir que aceptamos la hipótesis nula?

En muchos lugares he leído que nunca podemos decir que "aceptamos" la hipótesis nula. En cambio, debemos decir que "fallamos en rechazar" la hipótesis nula.

Pero no veo cómo eso cuadra con este simple ejemplo: supongamos que estamos probando un medicamento que se supone que cura la diabetes por completo en 24 horas. Lo probamos en 1000 pacientes, y todos ellos todavía tienen diabetes después de tomar el medicamento.

¿No es obvio que este medicamento no cura la diabetes? es decir, que aceptamos la hipótesis nula?

Ciertamente no pondría mi fe en esta droga.

Hipótesis nula: el fármaco no tiene efecto en los pacientes.

Hipótesis alternativa: el medicamento cura la diabetes

Posibilidad uno: la droga tiene un efecto muy pequeño. Quizás cura el 0,0001% de las personas que lo toman. La prueba que describió solo implica que no hay suficiente evidencia para la dramática alternativa que ha propuesto.

Posibilidad dos: el medicamento tiene un efecto negativo muy fuerte. (crédito a @ssdecontrol) Quizás el medicamento no tiene efecto y todos esos pacientes habrían mejorado por sí mismos, pero debido al medicamento ninguno de los pacientes se recuperó.

Sin ningún conocimiento previo, los datos serían consistentes con estas posibilidades, así como con la posibilidad de que el nulo sea verdadero.

Por lo tanto, no rechazar el nulo no implica que el nulo sea más cierto que estas otras posibilidades.

Aquí hay algunas buenas respuestas, pero lo que creo que es el tema clave no se menciona explícitamente en ningún lado. En resumen, su formulación de las hipótesis nula y alternativa no es válida. Las hipótesis nula y alternativa deben ser mutuamente excluyentes (es decir, ambas no pueden ser ciertas). Su formulación cumple con ese criterio. Sin embargo, también deben ser colectivamente exhaustivos (es decir, uno de ellos debe ser cierto). Su formulación no cumple con este criterio.

No se puede tener una hipótesis nula de que el medicamento tiene una probabilidad del de curar la diabetes y una hipótesis alternativa de que el medicamento tiene una probabilidad del de curar la diabetes. Imagine que la probabilidad real de que el medicamento cure la diabetes es del , entonces tanto su hipótesis nula como su hipótesis alternativa son falsas. Este es tu problema. $0\%$$100\%$$50\%$

La hipótesis nula prototípica es un valor en puntos (p. Ej., en la recta numérica real, o más a menudo cuando se refiere a probabilidades, pero esas son solo convenciones). Además, si está trabajando con un espacio de parámetros acotado (como está aquí; las probabilidades deben oscilar entre ), generalmente es problemático intentar probar valores que están en los límites (es decir, o ) Después de haber elegido un valor de punto como nulo (el valor que desea rechazar), puede obtener evidencia en contra de él, pero no puede obtener evidencia de él a partir de sus datos (cf. respuesta perspicaz de @ John ). Para comprender esto más a fondo, puede serle útil leer mi respuesta aquí:$0$$50\%$$[0,\ 1]$$0$$1$¿Por qué los estadísticos dicen que un resultado no significativo significa "no se puede rechazar lo nulo" en lugar de aceptar la hipótesis nula? Para aplicar esas ideas a su situación de manera más concreta, incluso si su valor nulo fuera (y, por lo tanto, su hipótesis alternativa era ), y haya probado el medicamento en pacientes sin que haya uno solo curado, no podría aceptar su hipótesis nula: los datos seguirían siendo consistentes con la posibilidad de que la probabilidad fuera (ver: ¿Cómo saber la probabilidad de falla si no hubo fallas? ). $0\%$$\pi\ne 0$$100,\!000$$0.00003$

Por otro lado, no tiene que tener un punto nulo. Las hipótesis nulas de una cola (es decir, ) no son puntos, por ejemplo. Son conjuntos de puntos infinitos. Del mismo modo, también podría tener una hipótesis de rango / intervalo (por ejemplo, que el parámetro está dentro de ). En ese caso, puede aceptar su nulo sobre la base de la evidencia, de eso se trata la prueba de equivalencia. (Todavía puede estar cometiendo un error tipo I, por supuesto). $< \theta_0$$[a,\ b]$

Como han comentado los otros usuarios, el problema con la aceptación de la hipótesis nula es que no tenemos suficiente evidencia (ni nunca lo haremos) para concluir que el efecto es exactamente 0. Matemáticamente, la prueba de hipótesis generalmente no es capaz de responder a tales preguntas .

Sin embargo, eso no significa que la intención de su pregunta no sea válida. De hecho, esta es típicamente la intención en los ensayos clínicos para medicamentos genéricos: el objetivo no es demostrar que ha producido un medicamento más efectivo, sino que su medicamento es esencialmente tan efectivo como la marca (y puede producir a un costo mucho menor). La equivalencia se considera típicamente como la hipótesis nula.

Para abordar esta pregunta utilizando la prueba de hipótesis, la pregunta se reforma de tal manera que pueda responderse. La pregunta reformateada se ve así:

$H_o: \beta_g \leq \beta_{nb}\times 0.75$

$H_a: \beta_g > \beta_{nb} \times 0.75$

donde es el efecto del genérico y es el efecto del medicamento de marca. Entonces, si rechazamos la hipótesis nula, podemos concluir que el genérico es al menos un 75% tan efectivo como el nombre de marca. Claramente, esto no es lo mismo que decir exactamente equivalente, pero llega a la pregunta que le interesa (y de una manera que creo que es una pregunta matemáticamente más razonable).β n $\beta_g$$\beta_{nb}$

Podemos abordar su pregunta de manera similar. En lugar de tratar de decir "¿tenemos suficiente evidencia para concluir el efecto 0?", Podemos preguntar "dada nuestra evidencia, ¿cuál es el efecto máximo para el cual nuestros resultados no fueron demasiado inusuales?". Con y 0 éxitos, podemos afirmar que tenemos suficiente evidencia para concluir que la probabilidad de éxito es inferior al 0.3% (según la prueba exacta de Fisher, ).α = $n = 1000$$\alpha = 0.05$

A partir de este resultado, seguramente aún puede concluir que este no es un medicamento en el que tendrá fe.

Suponga que la droga funciona, pero solo en .00001% de la población. La droga funciona, punto. ¿Cuáles son las probabilidades de detectar, estadísticamente, que funciona una muestra de 10000 personas? 100.000 personas? 1,000,000 de personas?

Es incorrecto decir que nunca puedes aceptar la hipótesis nula. Estás sacando la información del libro de texto fuera de contexto. Lo que no puede hacer es usar una prueba de hipótesis nula para aceptarla. La prueba es para rechazar la hipótesis. Tenga en cuenta que su propio argumento para aceptar tiene poco que ver con el resultado de una prueba. Se trata de los datos. Sería bastante absurdo ejecutar una prueba en absoluto en su ejemplo. Puede usar sus datos para argumentar que acepta la hipótesis nula. No hay nada de malo en eso. Simplemente no puede usar los resultados de la prueba para hacerlo.

La razón por la que no puede usar una prueba de hipótesis por sí sola es porque no está diseñada para hacer eso. Si no entiendes eso de los libros de texto, es comprensible. En realidad, es una paradoja interesante que el valor p solo signifique algo si el nulo es verdadero pero no se puede usar para demostrar que el nulo es verdadero. Para hacerlo más fácil, quizás solo tenga en cuenta la sensibilidad a la potencia. Siempre podría recolectar muy pocas muestras y no rechazar el valor nulo. Como puede hacerlo, está claro que la prueba por sí sola no es una razón válida para aceptar el valor nulo. Pero, de nuevo, eso no significa que nunca se pueda decir que el nulo es cierto. Solo significa que la prueba no es una base para argumentar que el nulo es verdadero.

NOTA : Existe un argumento de la navaja de Occam de que debe aceptar el valor nulo cuando no lo rechaza; pero la prueba no te dice que aceptes el nulo. Lo que está haciendo es aceptar el valor nulo como predeterminado y si no rechaza con la prueba, entonces mantendrá el estado predeterminado. Entonces, incluso en este caso, no se acepta el valor nulo debido a la prueba.

Al revisar sus comentarios, creo que está muy interesado en esta pregunta: ¿por qué podemos acumular evidencia suficiente para rechazar la nula , pero no la alternativa , es decir, qué hace que la hipótesis pruebe una calle unilateral?

Lo muy importante para pensar es ¿qué valores constituyen la hipótesis nula? En su ejemplo, es solo un valor único, , . La alternativa, por el contrario, es . p = 0 p > $i.e.$$p = 0$$p > 0$

Aceptamos cualquier hipótesis si todos los "valores razonables" (es decir, valores dentro de nuestro intervalo de confianza) caen completamente en el rango dado por esa hipótesis. Entonces, si todos nuestros valores razonables son mayores que 0, aceptaríamos la alternativa. Por otro lado, la hipótesis nula es solo un punto, ¡0! Entonces, para aceptar el valor nulo, tendríamos que tener un intervalo de confianza de longitud 0 . Dado que (en términos generales) el intervalo de confianza de longitud se aproxima a 0 como , pero no alcanza la longitud 0 para finito , necesitaríamos recopilar una cantidad infinita de datos para concluir que no tenemos margen de error en nuestro estimar.$n \rightarrow \infty$$n$

Pero tenga en cuenta que si definimos la hipótesis nula como algo más que un solo punto, es decir, una prueba de hipótesis unilateral como

$H_o: p \leq 0.5$

$H_a: p > 0.5$

De hecho, podemos aceptar la hipótesis nula. Supongamos que nuestro intervalo de confianza fuera (0.35, 0.45). Todos estos valores menores o iguales a 0.5, que está en la región de la hipótesis nula. Entonces, en ese caso, podríamos aceptar el nulo.

Nota de abuso de estadísticas pequeña y técnica: si uno está realmente dispuesto a abusar de la teoría asintótica, en realidad podría (pero no debería ...) aceptar el valor nulo en su ejemplo: el error estándar asintótico es . Por lo tanto, su intervalo de confianza asintótico será (0,0), todo lo cual pertenece a la hipótesis nula. Pero esto solo abusa de los resultados asintóticos; tenga en cuenta que obtiene la misma conclusión incluso si = 1.$\sqrt{(\hat p (1 - \hat p) /n)} = 0$$n$

Sé que se trata de una hipótesis nula, pero el verdadero problema es el ejemplo dado o, como se indicó, el ejemplo simple. 1,000 personas reciben un medicamento y no funciona. Qué otras enfermedades tenían estas personas, cuáles eran sus edades y etapas de enfermedad. Para declarar una hipótesis nula más información; probablemente detallado; debe darse para que esto funcione en un entorno científico.