Proporcione pruebas de que es convexo . Aquí, y son los PDF y CDF normales estándar, respectivamente.$Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}$$\forall x>0$$\phi$$\mathbf{\Phi}$

PASOS INTENTADOS

1) MÉTODO DE CÁLCULO

He probado el método de cálculo y tengo una fórmula para la segunda derivada, pero no puedo demostrar que sea positiva . Avíseme si necesita más detalles.$\forall x > 0$

Finalmente,

$$\begin{eqnarray*} \text{Let }Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x} & = & 2x+x\left[-\frac{x\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right]+\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x}\right|_{x=0} & = & \frac{\phi\left(0\right)}{\Phi\left(0\right)}>0 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^{2}Q\left(x\right)}{\partial x^{2}} & = & 2+x\phi\left(x\right)\left[\frac{-\Phi^{2}\left(x\right)+x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)+3x\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2\phi^{2}\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]+2\left[-x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 2+\phi\left(x\right)\left[\frac{x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{2}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)-2\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & \left[\frac{2\Phi^{3}\left(x\right)+x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \text{Let, }K\left(x\right)=2\Phi^{3}\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)x\left[x^{2}-3\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K\left(0\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}>0 \end{eqnarray*}$$ Para . Para , $x\geq\sqrt{3},K\left(x\right)>0$$x\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+2\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)\left[x^{3}-3x\right]-\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[x^{4}-3x^{2}\right]+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[3x^{2}-3\right]\\ & & -2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{3}-2x\right]+\phi^{3}\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)6x \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-2\phi^{3}\left(x\right)+6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\\ & & +2x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+6x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-4x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} =\phi\left(x\right)\left[3\Phi^{2}\left(x\right)+x\left\{ 6x\Phi^{2}\left(x\right)-3x\phi^{2}\left(x\right)-x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+4\Phi\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[1-x^{2}\right]\right\} \right] \end{eqnarray*}$$

2) MÉTODO GRÁFICO / NUMÉRICO

También pude ver esto numérica y visualmente al trazar los gráficos como se muestra a continuación; pero sería útil tener una prueba adecuada.

Vamos a mostrar que la segunda derivada de es positiva para . Primero, necesitamos saber cómo diferenciar y .$Q$$x \ge 0$$\Phi$$\phi$

Por definición,

$$\frac{d}{dx}\Phi(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2).$$ Diferenciar una vez más da

$$\frac{d}{dx}\phi(x) = -x \phi(x).$$

Aplicando este resultado a otros rendimientos derivados

$$\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = (-1 + x^2)\phi(x).$$

Usando estos resultados, junto con el producto habitual y las reglas de diferenciación del cociente, encontramos que el numerador de la segunda derivada es la suma de seis términos. (Este resultado se obtuvo en la mitad de la pregunta). Es conveniente organizar los términos en tres grupos:

$$\eqalign{ \Phi(x)^3\frac{d^2}{dx^2}Q(x)= &2 x \phi(x)^3 \\ &+\,3 x^2 \phi(x)^2 \Phi(x)+x^3 \phi(x) \Phi(x)^2 \\ &+\,\Phi(x) \left(-2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2\right). }$$

Como es una densidad de probabilidad, no es negativa y también lo es la función de distribución . Por lo tanto, solo el tercer término podría ser negativo cuando . Su signo es el mismo que el de su segundo factor,$\phi$$\Phi$$x\ge 0$

$$R(x) = -2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2.$$

Hay muchas formas de mostrar que este factor no puede ser negativo. Una es notar que

$$R(0) = -2\phi(0) + 2\Phi(0) = 1 - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \gt 0.$$

La diferenciación, usando las mismas técnicas simples que antes, da

$$\frac{d}{dx} R(x) = \phi(x)(x \phi(x) + (1 + 3x^2)\Phi(x))$$

que es claramente positivo para . Por lo tanto, es una función creciente en el intervalo . Su mínimo debe estar en , demostrando que para todo .$x\ge 0$$R(x)$$[0, \infty)$$R(0) \gt 0$$R(x)\gt 0$$x \ge 0$

Hemos demostrado que tiene una segunda derivada positiva para , QED .$Q$$x \ge 0$