Estimadores imparciales de asimetría y curtosis

La asimetría y la curtosis se definen como:

ζ_{3} = \frac{mi [(X - μ)^{3}]}{mi [(X - μ)^{2}]^{3 / / 2}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

$\zeta_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{E[(X-\mu)^2]^{3/2}} = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ζ_{4 4} = \frac{mi [(X - μ)^{4 4}]}{mi [(X - μ)^{2}]^{2}} = \frac{μ_{4 4}}{σ^{4 4}}

$\zeta_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{E[(X-\mu)^2]^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

Las siguientes fórmulas se utilizan para calcular el sesgo y la curtosis de la muestra:

z_{3} = \frac{\frac{1}{norte} \sum_{yo = 1}^{norte} [(X_{yo} - \bar{X})^{3}]}{(\frac{1}{norte} \sum_{yo = 1}^{norte} [(X_{yo} - \bar{X})^{2}])^{3 / / 2}}

$z_3 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^3]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^{3/2}}$

z_{4 4} = \frac{\frac{1}{norte} \sum_{yo = 1}^{norte} [(X_{yo} - \bar{X})^{4 4}]}{(\frac{1}{norte} \sum_{yo = 1}^{norte} [(X_{yo} - \bar{X})^{2}])^{2}}

$z_4 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^4]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^2}$

Mi pregunta es: ¿son imparciales estos estimadores? No sé si debería usar la desviación estándar imparcial o la sesgada en el denominador.

En general, si tenemos una función cuyas variables son estimadores insesgados, ¿podemos decir que es un estimador insesgado? $f$ $f$

skewness unbiased-estimator kurtosis

— SiXUlm
fuente

Ver págs. 8-9 de http://modelingwithdata.org/pdfs/moments.pdf . También mire http://www.amstat.org/publications/jse/v19n2/doane.pdf para obtener algunas perspectivas útiles para tener su pensamiento en el estado de ánimo correcto.

Tenga en cuenta que lo que probablemente llama la desviación estándar imparcial es un estimador sesgado de la desviación estándar ¿Por qué la $\sigma$ desviación estándar muestral es un estimador sesgado de ? , aunque antes de sacar la raíz cuadrada es un estimador de varianza imparcial.

Una función no lineal de un estimador imparcial no necesariamente será imparcial ("casi seguro" no lo será). La dirección del sesgo se puede determinar por la desigualdad de Jensen https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality si la función es convexa o cóncava.

— Mark L. Stone
fuente

¡Gracias! Parece que las fórmulas de los "buenos" estimadores son muy largas. Si uso otros más simples, ¿eso realmente causa problemas serios? Por cierto, siempre he malinterpretado que la muestra estándar es un estimador de SIN COMPENSAR , esto también responde a mi segunda pregunta.

σ

$\sigma$

— SiXUlm

Tienes que decidir si quieres la mejor respuesta que puedes obtener, o no. si desea la mejor respuesta, pague el precio en complicaciones si es necesario.

— Mark L. Stone

El sesgo no es necesariamente malo. También debes considerar la varianza. La cercanía del estimador al estimador se puede medir utilizando la desviación cuadrática esperada de estimador a estimador, que es igual a la varianza del estimador más el sesgo cuadrado del estimador. En muchos casos, existe una "compensación de sesgo de varianza" en la que el aumento del sesgo está más que compensado por la reducción de la varianza. Apuesto a que esto es cierto para las estimaciones de curtosis y asimetría. Alguien quiere publicar alguna investigación sobre esto?

— Peter Westfall

¿Hay una compensación en este caso?

— Xiaoxiong Lin

@filippo modelingwithdata.org/about_the_book.html

— Mark L. Stone