Estadística de pedidos para distribución beta

Deje ser iid dibuja de . ¿Cómo se distribuyen las estadísticas de pedido mínimo y máximo, respectivamente? $x_1,\dots,x_n$ $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$

Agradecería mucho una referencia si es posible. En general, no estoy familiarizado con la obtención de estadísticas de pedidos.

Editar: Dado que la distribución beta se puede interpretar como una estadística para la distribución uniforme, supongo que el mínimo o el máximo de la distribución beta se distribuye de acuerdo con otra distribución beta. $k$

Edit_2: agregué una configuración un poco más precisa que me importa. Al final, estoy buscando límites para el mínimo y el máximo, por lo que sea cual sea la forma que conduzca a estos, me contentaré. En última instancia, también estoy interesado en el caso asintótico, pero es mi próxima preocupación, por así decirlo.

order-statistics beta-distribution

— Lepidopterista
fuente

Es posible que desee mencionar qué forma de respuesta necesita. En general, el PDF será un polinomio multiplicado por la potencia de una función Beta incompleta, que probablemente no se simplificará ni será computable, excepto numéricamente.

— whuber

@whuber, intenté responder a tu pregunta en mi segunda edición. En primer lugar, cambié la configuración para que sea un poco más específica para mis intereses. En segundo lugar, estoy principalmente preocupado por el límite en ambos. Lo que sea que conduzca a eso me hará feliz. ¿Es correcto mi argumento sobre por qué debería ser una distribución Beta (al menos en algunos casos)?

— Lepidopterista

Creo que su argumento se aplica cuando (a) y busca el mínimo y (b) y busca el máximo. De lo contrario, no se aplica porque los valores extremos de un conjunto de estadísticas de orden medio no son lo mismo que las estadísticas de orden.

k / 2 = 1

$k/2=1$

(k - p - 1) / 2 = 1

$(k-p-1)/2=1$

— whuber

Estoy interesado en el caso más general no es necesariamente . De hecho, en última instancia, quiero calcular lo que sucede cuando y van al infinito.

(k - p - 1) / 2

$(k-p-1)/2$

1

$1$

k

$k$

p

$p$

— Lepidopterista

También debe especificar algo sobre la relación entre y ya que ambos van al infinito: ¿uno va más rápido que el otro?

k

$k$

p

$p$

— MichaelChirico

Deje que la variable aleatoria principal con pdf : $X \sim Beta(a,b)$ $f(x)$

_{(fuente: tri.org.au )}

Luego, dada una muestra de tamaño , el pdf de la estadística de orden (mínimo de muestra) es: $n$ $1^{st}$

_{(fuente: tri.org.au )}

... y el pdf de la estadística de orden (muestra máxima) es: $n^{th}$

_{(fuente: tri.org.au )}

dónde:

Estoy usando la OrderStatfunción del paquete mathStatica para Mathematica para automatizar los detalles esenciales
Beta[x,a,b]denota la función Beta incompleta $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$
y el dominio de soporte es (0,1).

— lobos
fuente