¿La distribución binomial tiene la menor variación posible entre todas las distribuciones "razonables" que pueden modelar elecciones binarias?

Imagine una elección en la que personas hacen una elección binaria: votan a favor o en contra. El resultado es que personas votan por A, por lo que el resultado de A es . $n$ $m$ $p=m/n$

Si quiero modelar estas elecciones, puedo suponer que cada persona vota por A independientemente con probabilidad $p$ , lo que lleva a la distribución binomial de votos:

votes for A \sim B i n o m (n, p) .

$\text{votes for A}\sim\mathsf{Binom}(n,p).$ Esta distribución tiene una media

m = n p

$m=np$ y una varianza

n p (1 - p)

$np(1-p)$ .

También puedo hacer otras suposiciones. Por ejemplo, puedo suponer que la probabilidad $p$ es en sí misma una variable aleatoria que proviene de alguna distribución (por ejemplo, beta); esto puede llevar a una distribución beta-binomial de votos para A. O puedo suponer que las personas votan en grupos de $k$ , donde cada grupo de $k$ hace la misma elección y es A con probabilidad $p$ . Esto conducirá a una distribución binomial con mayor varianza. En todos estos casos, la varianza de la distribución resultante es mayor que en el esquema binomial más simple.

¿Puedo afirmar que la distribución binomial tiene la varianza más pequeña posible? En otras palabras, ¿puede esta afirmación ser precisa de alguna manera, por ejemplo, especificando algunas condiciones razonables sobre las posibles distribuciones? ¿Cuáles serían estas condiciones?

¿O tal vez hay alguna distribución razonable que tenga una varianza menor?

Me puedo imaginar menor varianza, por ejemplo, cuando todas las personas están de acuerdo de antemano sobre cómo van a votar, y así en realidad no es una variable aleatoria, pero un número fijo . Entonces la varianza es cero. O tal vez casi todos estuvieron de acuerdo, pero algunas personas no lo hicieron, y luego uno puede tener una pequeña variación alrededor de . Pero esto se siente como hacer trampa. ¿Se puede tener una variación menor que binomial sin ningún arreglo previo, es decir, cuando cada persona vota al azar en algún sentido? $n$ $\text{votes for A}$ $m$ $m$

— ameba
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Una pregunta relacionada: ¿Estos datos están poco dispersos? Si es así, ¿qué mecanismos pueden explicar esto?

— ameba

La distribución binomial de Poisson tiene una varianza máxima cuando todos los p_i son iguales (es decir, cuando se reducen a binomial) para la media fija yn. en.m.wikipedia.org/wiki/Poisson_binomial_distribution

— seanv507 el

@ seanv507 Gracias, sí. Me di cuenta de esto en 2015, vea mi comentario bajo la respuesta de whuber. Pero si desea publicar esto como una respuesta (explicando qué es el binomio de Poisson), estaré encantado de votar.

— ameba

No se .

Supongamos que los votantes consisten en parejas casadas. Los maridos se juntan y deciden votar en contra de sus esposas, quienes eligen al azar. El resultado es siempre votos para cada uno de los candidatos, con variación cero. $n=2k$ $k$

Puede llorar porque los maridos no votan al azar. Bueno, lo están, simplemente están estrechamente vinculados con los votos al azar de sus esposas. Si eso te molesta, cambia un poco las cosas haciendo que cada esposo arroje diez monedas justas. Si los diez son jefes, votará con su esposa; de lo contrario él vota en contra de ella. Puede verificar que el resultado de la elección todavía tenga una pequeña variación (aunque no sea cero), a pesar de que cada voto es impredecible.

El quid de la cuestión radica en la covarianza negativa entre dos bloques de votación, hombres y mujeres.

— whuber
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Gracias, @whuber. Parece que también hay otra forma de lograr una varianza más baja: los votantes deben votar por A con diferentes probabilidades que se distribuyen alrededor de . La distribución compuesta aparentemente se conoce como binomial de Poisson, y si su media se fija en , entonces la varianza será mayor para el caso binomial cuando todo . Si las probabilidades no son iguales, la varianza será necesariamente menor.

p_{i}

$p_i$

p

$p$

\sum p_{i}

$\sum p_i$

n p

$np$

p_{i} = p

$p_i=p$

— ameba

Claro: hay muchas maneras de lograr una baja dispersión (¡como veo que te das cuenta tardíamente!). Simplemente pensé que este ejemplo de marido y mujer era lo suficientemente claro, divertido y memorable como para que valga la pena escribirlo. Debido a que equivalía a una respuesta, no habría sido apropiado enterrarlo en un comentario (que es cómo comenzó la vida).

— whuber