Si está contento de asumir que cada recuento sigue una distribución de Poisson (con su propia media bajo la hipótesis alternativa; con una media común debajo de la nula) no hay problema, es solo que no puede verificar esa suposición sin réplicas. La sobredispersión puede ser bastante común con los datos de conteo.
Una prueba exacta dada recuentos y x 2 es sencilla, puesto que el total general de los recuentos de n = x 1 + x 2 es accesoria; condicionando da X 1 ∼ B i n ( 1X1X2n = x1+ x2como la distribución de su estadística de prueba bajo nulo. †X1∼ B i n ( 12, n ) Es un resultado intuitivo: el recuento general, que refleja tal vez cuánto tiempo podría molestarse en observar los dos procesos de Poisson, no contiene información sobre sus tasas relativas, pero afecta el poder de su prueba; y, por lo tanto, otros recuentos generales que pueda tener son irrelevantes.
Ver prueba de hipótesis basada en verosimilitud para la prueba de Wald (una aproximación).
† Cada recuento tiene una distribución de Poisson con media λ i f X ( x i ) = λ x i iXyoλyo
Reparametrizar como
θ
FX( xyo) = λXyoyomi- λyoXyo!i = 1 , 2
donde
θes lo que le interesa, y
ϕes un parámetro molesto. La función de masa articular se puede volver a escribir:
f X 1 , Xθϕ= λ1λ1+ λ2= λ1+ λ2
θϕ
El recuento total
nes auxiliar para
θ, teniendo una distribución de Poisson con media
ϕfN(n)FX1, X2( x1, x2)FX1, N( x1, n )= λX11λX22mi- ( λ1+ λ2)X1! X2!= θX1( 1 - θ )n - x1⋅ ϕnortemi- ϕX1! ( n - x1) !
norteθϕ
fN(n)=∑x1=0∞fX1,N(x1,n)=ϕne−ϕn!∑x1=0∞n!x1!(n−x1)!θx1(1−θ)n−x1=ϕne−ϕn!
while the conditional distribution of
X1 given
n is binomial with Bernoulli probability
θ & no. trials
n
fX1|n(x1;n)=fX1,N(x1,n)fN(n)=θx1(1−θ)n−x1⋅ϕne−ϕx1!(n−x1)!⋅n!ϕne−ϕ=n!x1!(n−x1)!θx1(1−θ)n−x1