¿Es la covarianza de las variables estandarizadas la correlación?

Tengo una pregunta básica. Decir que tengo dos variables aleatorias, e . Puedo estandarizarlos restando la media y dividiendo por la desviación estándar, es decir, . $X$ $Y$ $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

¿Es la correlación de e , , la misma que la covarianza de las versiones estandarizadas de e ? Es decir, ¿ ? $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
fuente

Si.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

Entonces, ¡Sí!

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{mi ((X - mi (X)) \times (Y - mi (Y)))}{S re (X) \times S re (Y)} \\ Cov (X_{estandarizado}, Y_{estandarizado}) & = mi [(\frac{(X - mi (X))}{(S re (X))} - 0 0) \times (\frac{(Y - mi (Y))}{(S re (Y))} - 0 0)] \\ = \frac{mi ((X - mi (X)) \times (Y - mi (Y)))}{S re (X) \times S re (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— Hemant Rupani
fuente

¿¿¿¿Qué???? El lado derecho de su primera ecuación es una variable aleatoria, mientras que el lado izquierdo es una constante.

— Dilip Sarwate

Errr no. La pregunta es sobre correlación y covarianza de variables aleatorias, mientras que su respuesta es sobre correlación y covarianza de muestra . Por ejemplo, el resultado preguntó sobre retenciones para variables aleatorias continuas, mientras que, en el mejor de los casos, lo que tiene se aplica solo a variables aleatorias discretas que toman valores

con igual probabilidad

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Dilip Sarwate

No exactamente. No necesita los subíndices

en absoluto, por lo que los eliminé y mejoré un poco la presentación. Siéntase libre de retroceder si no le gustan los cambios.

i

$i$

— Dilip Sarwate

Está tomando SD (X) y SD (Y) fuera de lo esperado. Explique un poco más el razonamiento de este paso, por favor.

— Erdogan CEVHER

Las constantes @Erdogan pueden tomarse fuera de la función Expected () sin cambios.

— Hemant Rupani