¿Esta distribución tiene un nombre? ¿O qué es un proceso estocástico que podría generarlo?

Una distribución discreta con función de masa.

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

surge en la página 9 de este documento .

Para es una distribución de Yule-Simon con , pero no he encontrado ningún otro ejemplo. $k=1$ $\rho=1$

Eso tiene un nombre? ¿Aparece en algún otro contexto? ¿Existe un proceso estocástico simple que pueda generarlo?

distributions

— Simon Byrne
fuente

Es una ley de poder discreta.

(Esta es una descripción, cuyo significado se precisará a continuación, en lugar de un término técnico. La frase "ley de poder discreto" tiene un significado técnico ligeramente diferente, como lo indica @Cardinal en los comentarios a esta respuesta).

Para ver esto, observe que la descomposición de fracción parcial se puede escribir

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

El CDF se telescopía en una forma cerrada:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(Incidentalmente, debido a que esto se invierte fácilmente, inmediatamente proporciona una forma eficiente de generar variables aleatorias a partir de esta distribución: simplemente calcule donde está uniformemente distribuido en .) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

Diferenciar esta expresión con respecto a muestra cómo se puede escribir el CDF como una integral, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

De dónde

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

Esta forma de escritura exhibe como un parámetro de escala para la familia de distribuciones (continuas) determinadas por la densidad $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

y muestra cómo es la versión discretizada de (escalada por ) obtenida integrando la probabilidad continua durante el intervalo de a . Obviamente, esa es una ley de potencia con exponente . Esta observación le brinda una entrada a la extensa literatura sobre leyes de poder y cómo surgen en ciencia, ingeniería y estadística, lo que puede sugerir muchas respuestas a sus últimas dos preguntas. $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— whuber
fuente

(+1) De la función de masa de probabilidad, está claro que como , lo que parece ser suficiente para concluir que es una distribución de la ley de potencia. De hecho, como .

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— cardenal

@cardinal Tiene razón, pero este argumento tiene una limitación: solo muestra que es asintóticamente una ley de poder. Los cálculos muestran que es exactamente una versión discreta de una ley de poder.

p

$p$

— whuber

No estoy muy seguro de la distinción que intentas dibujar. Desafortunadamente, no he tenido la oportunidad de pensarlo cuidadosamente, pero parece que estás definiendo una distribución de ley de poder discreta como una versión discretizada de una distribución de ley de poder continua. ¿Estoy interpretando tu comentario correctamente? En cualquier caso, cuando veo referencias a leyes de poder discretas en la literatura, la definición habitual parece ser la más débil (es decir, asintótica) que he usado. (cont.)

— cardenal

(Cont.) Por otro lado, una distribución Zipf parecería ser tan pura de una ley de poder discreta como sea posible, sin embargo, no creo que pueda generarse como una discretización de una ley de poder continuo. ¿He malinterpretado tu intención? (Por cierto, su desarrollo anterior es bastante bueno. El reconocimiento de la suma telescópica para el CDF es excelente, al igual que el reconocimiento de un esquema de muestreo fácil.)

— Cardenal

Bien, después de un poco más de investigación, encontré algunos detalles más.

Es un caso especial de una mezcla continua de una distribución geométrica con una Beta, por lo que podría llamarse una distribución Beta-geométrica . Específicamente, si: y: entonces la distribución marginal de tiene esta distribución. Como tal, es un caso especial de una distribución binomial beta negativa .

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

Tiene un par de otras propiedades interesantes:

Tiene una media infinita
Describe su propia distribución de cola: si tiene esta distribución con el parámetro , entonces tiene el parámetro . $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— Simon Byrne
fuente