Generando variables aleatorias binomiales con correlación dada

Supongamos que sé cómo generar variables aleatorias binomiales independientes. ¿Cómo puedo generar dos variables aleatorias? $X$ y $Y$ tal que
$X \sim Bin (8, \frac{2}{3}), Y \sim Bin (18, \frac{2}{3}) and Corr (X, Y) = 0.5$ $X\sim \text{Bin}(8,\dfrac{2}{3}),\quad Y\sim \text{Bin}(18,\dfrac{2}{3})\ \text{ and }\ \text{Corr}(X,Y)=0.5$

Pensé en tratar de usar el hecho de que $X$ y $Y-\rho X$ son independientes donde $\rho=Corr(X,Y)$ pero no creo que $X-\rho Y$ está distribuido binomialmente, así que no puedo usar este método. Si esto hubiera funcionado, habría generado dos variables aleatorias binomiales, digamos $A$ y $B$ , luego establecer $X=A$ y $Y-\rho X=B$ es decir $Y=B+\rho A$ y por lo tanto habría conseguido el par $(X,Y)$ . Pero no puedo hacer esto como $Y-\rho X$ no está distribuido binomialmente.

Cualquier sugerencia será apreciada sobre cómo proceder.

— Landon Carter
fuente

En realidad, este problema se produjo en un examen semestral, por lo que no es tarea, pero supongo que puede llamarse autoestudio. Se agregó la etiqueta.

— Landon Carter

No puede usar la representación lineal de la correlación en distribuciones de soporte discretas.

En el caso especial de la distribución binomial, la representación

X = \sum_{i = 1}^{8} δ_{i} Y = \sum_{i = 1}^{18} γ_{i} δ_{i}, γ_{i} \sim B (1, 2 / 3)

$X=\sum_{i=1}^8 \delta_i\quad Y=\sum_{i=1}^{18} \gamma_i\quad \delta_i,\gamma_i\sim \text{B}(1,2/3)$ puede ser explotado desde

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} cov (δ_{i}, γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\text{cov}(\delta_i,\gamma_j)$ Si elegimos algunos de los

δ_{i}

$\delta_i$ es igual a algunos de los

γ_{j}

$\gamma_j$ 's, y generados independientemente de lo contrario, obtenemos

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) var (γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)\text{var}(\gamma_j)$ donde la notación

I (δ_{i} := γ_{j})

$\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ indica que

δ_{i}

$\delta_i$ se elige idéntico a

γ_{j}

$\gamma_j$ en lugar de generarse como un Bernoulli

B (1, 2 / 3)

$\text{B}(1,2/3)$ .

Como la restricción es

cov (X, Y) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}

$\text{cov}(X,Y)=0.5\times\sqrt{8\times 18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$ tenemos que resolver

\sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} = 6

$\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)=0.5\times\sqrt{8\times 18}=6$ Esto significa que si elegimos 6 de los 8

δ_{i}

$\delta_i$ es igual a 6 de los 18

γ_{j}

$\gamma_j$ Deberíamos obtener esta correlación de 0.5.

La implementación es la siguiente:

Generar $Z\sim\text{B}(6,2/3)$ , $Y_1\sim\text{B}(12,2/3)$ , $X_1\sim\text{B}(2,2/3)$ ;
Toma $X=Z+Z_1$ y $Y=Z+Y_1$

Podemos verificar este resultado con una simulación R

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

Comentario

Esta es una solución bastante artificial al problema, ya que solo funciona porque $8\times 18$ es un cuadrado perfecto y porque $\text{cor}(X,Y)\times\sqrt{8\times 18}$ es un entero Para otras correlaciones aceptables, la aleatorización sería necesaria, es decir $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ sería cero o uno con alguna probabilidad $\varrho$ .

Apéndice

El problema fue propuesto y resuelto hace años en Stack Overflow con la misma idea de compartir Bernoullis.

— Xi'an
fuente

+1. No necesitas eso

8 \times 18

$8\times 18$ ser un cuadrado Las condiciones para Cor

(X, Y) = ρ

$(X,Y)=\rho$ tener una solución (a través de este método) para

X \sim

$X\sim$ Binomio

(n, p)

$(n,p)$ y

Y \sim

$Y\sim$ Binomio

(m, q)

$(m,q)$ son (1)

p = q

$p=q$ y 2)

0 \leq ρ \sqrt{m n} \leq min (m, n)

$0\le \rho\sqrt{mn}\le \min(m,n)$ es un entero Por cierto negativo

ρ

$\rho$ , el uso de una distribución multinomial da una solución. Un enfoque más general, pero más difícil, usaría cópulas.

— whuber

@whuber: para la correlación negativa, primero pensé en usar

1 - γ_{j}

$1-\gamma_j$ pero obviamente no funciona. ¿Podría ampliar la solución genérica? (También pensé en cópulas, pero calibrar cópulas para alcanzar la correlación correcta es un asunto desagradable, ¿no es así ?!

— Xi'an

Xi'an, me gustaría preguntarte si el método que usaste es estándar. Esto se debe a que busqué mucho en Internet y no pude encontrar nada.

— Landon Carter

Estoy de acuerdo contigo, ¡no quiero trabajar con esas cópulas! Pero al menos muestran que las soluciones deberían existir (dentro de ciertos límites en

ρ

$\rho$ , dependiente de los otros parámetros) en la configuración más general. Sería interesante saber si las construcciones más simples, como la que usted da aquí, podrían aplicarse para manejar casos donde

p \neq q

$p\ne q$ o

ρ < 0

$\rho \lt 0$ . Yedaynara: el método de dividir dos variables

X, Y

$X,Y$ dentro

X^{'} + Z, Y^{'} + Z

$X^\prime+Z, Y^\prime+Z$ es estándar para cualquier familia paramétrica cerrada bajo adición; y eso es todo lo que está pasando aquí.

— whuber

@yedaynara: Me sorprende que no haya podido encontrar "nada", ya que busqué en Google "simulación binomial correlacionada" y encontré inmediatamente esta publicación en Stack Overflow .

— Xi'an