Combinación lineal de dos no normales al azar que todavía es miembro de la misma familia.

Es bien sabido que una combinación lineal de 2 variables normales aleatorias también es una variable normal aleatoria. ¿Hay alguna familia común de distribución no normal (por ejemplo, Weibull) que también comparte esta propiedad? Parece que hay muchos contraejemplos. Por ejemplo, una combinación lineal de uniformes no suele ser uniforme. En particular, ¿existen familias de distribución no normales en las que se cumplan las dos condiciones siguientes:

Una combinación lineal de dos variables aleatorias de esa familia es equivalente a alguna distribución en esa familia.
Los parámetros resultantes se pueden identificar como una función de los parámetros originales y las constantes en la combinación lineal.

Estoy especialmente interesado en esta combinación lineal:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

donde y se muestrean de una familia no normal, con los parámetros y , e proviene de la misma familia no normal con el parámetro . $X_1$ $X_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $Y$ $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Estoy describiendo una familia de distribución con 1 parámetro para simplificar, pero estoy abierto a familias de distribución con múltiples parámetros.

Además, estoy buscando ejemplos en los que haya mucho espacio de parámetros en y para trabajar con fines de simulación. Si solo puede encontrar un ejemplo que funcione para algunos y muy específicos , sería menos útil. $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

distributions linear

— Antonio
fuente

Gracias. Realmente estoy buscando familias comunes no normales (por ejemplo, Weibull). También intentaré aclarar que los parámetros resultantes deben ser funciones de los parámetros originales para una amplia variedad de parámetros originales. Es decir, debe haber suficiente espacio de parámetros para trabajar con fines de simulación.

— Anthony

Suponiendo que estamos hablando de combinaciones lineales arbitrarias de variables aleatorias independientes , existen las distribuciones estables (Lévy) . La clase completa de tales distribuciones se caracteriza completamente por su función característica que toma una cierta forma. Solo unos pocos tienen densidades con expresiones de forma cerrada conocidas.

— cardenal

Los establos alfa mencionados por @cardinal son una respuesta, y si entiendo correctamente, la única respuesta si los parámetros deben ser ubicación y escala, pero ¿hay otras respuestas si los parámetros no necesitan ser ubicación + escala? (Aunque esto quizás esté tan lejos de lo que OP quería que esta debería ser una pregunta separada)

— Juho Kokkala

Estoy interesado en las respuestas, incluso si los parámetros no son ubicación y escala.

— Anthony

@Juho Creo que la respuesta en general es sí. Las sumas de distribuciones corresponden a sumas (puntuales) de funciones generadoras acumulativas (definidas como el logaritmo de la función característica), por lo que el cierre de un conjunto de distribuciones bajo suma está contenido naturalmente dentro del conjunto de todas las distribuciones que son combinaciones lineales (reales) de esos cgf's.

— whuber

Respuestas:

La distribución normal satisface una buena identidad de convolución: . Si se refiere al teorema del límite central, entonces, por ejemplo, esas distribuciones gamma con el mismo coeficiente de forma compartirían esa propiedad y se convertirían en distribuciones gamma. Consulte una nota de advertencia sobre la invocación del teorema del límite central . Sin embargo, en general, con coeficientes de forma desiguales, las distribuciones gamma se "sumarían" mediante una convolución que no sería una distribución gamma sino una función gamma que multiplica una función hipergeométrica del primer tipo como se encuentra en la ecuación. (2) de $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$ convolución de dos distribuciones gamma . La otra definición de sumar, que está formando una distribución de mezcla de procesos no relacionados, no exhibiría necesariamente ningún límite central, por ejemplo, si los medios son diferentes.

Probablemente hay otros ejemplos, no he hecho una búsqueda exhaustiva. El cierre por convolución no parece exagerado. Para una combinación lineal, el producto de Pearson VII con Pearson VII es otro Pearson VII .

— Carl
fuente

Puede agregar variables aleatorias independientes de Gammas con el mismo parámetro de escala y obtener otra gama con ese mismo parámetro de escala, pero no puede tomar combinaciones lineales arbitrarias. Hay una serie de distribuciones bien conocidas para las cuales puede tomar sumas pero no combinaciones lineales arbitrarias y permanecer dentro de esa familia. (Ya hay una respuesta eliminada aquí que comete el mismo error)

— Glen_b -Reinstate Monica

Es cierto que la convolución de dos distribuciones gamma , véase la ecuación. 2, produce algo más que una distribución gamma, si eso es lo que quieres decir.

— Carl

El artículo establece claramente que una combinación lineal de gammas no es gamma (aparte de la misma excepción que ya mencioné) y parece completamente coherente con lo que dije. No estoy seguro de lo que me está preguntando, pero el artículo respalda mi afirmación de que su respuesta parece afirmar algo que no es el caso.

— Glen_b -Reinstala a Monica el

Sin preguntar, diciendo cuál es la suma en general. Modifiqué la respuesta para decir "algunos". Si eso no es lo suficientemente bueno, eliminaré mi humilde intento de ayudar. Y que estoy preguntando: "¿Lo suficientemente bueno o no?"

— Carl

Ahora está un poco en el lado claro para una respuesta. Es posible que desee mover parte de la información de su comentario a la respuesta (la información relacionada con lo que estaba en el documento y el enlace, al menos, aunque incluiría una referencia adecuada)

— Glen_b -Reinstalar a Monica

Es bien sabido que una combinación lineal de 2 variables normales aleatorias también es una variable normal aleatoria. ¿Hay alguna familia común de distribución no normal (por ejemplo, Weibull) que también comparte esta propiedad?

$\mathscr{P}$ $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

X_{1}, X_{2}, X_{3} \sim IID PAG ⟹ (\forall una) (\forall si) (\exists C > 0 0) (\exists re) : una X_{1} + si X_{2} \overset{Dist}{\sim} C X_{3} + re .

$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$

$d=0$

Las distribuciones estables a Levy pueden considerarse como una familia de distribuciones por derecho propio, y en este sentido es la única familia de distribuciones con esta propiedad de estabilidad, ya que (por definición) abarca todas las distribuciones con esta propiedad. La distribución normal cae dentro de la clase de distribuciones estables a Levy, al igual que la distribución de Cauchy , la distribución de Landau y la distribución de Holtsmark .

— Ben - Restablece a Monica
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