Comprender la fórmula de diferencia fraccional

Tengo una serie temporal y me gustaría modelarla como un proceso ARFIMA (también conocido como FARIMA). Si está integrado en el orden (fraccional) , me gustaría diferenciarlo fraccionalmente para hacerlo estacionario.$y_t$$y_t$$d$

Pregunta : ¿es correcta la siguiente fórmula que define la diferenciación fraccional?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(Aquí denota la diferenciación fraccional de orden .)$\Delta^d$$d$

Baso la fórmula en este artículo de Wikipedia en ARFIMA , Capítulo ARFIMA ( ), pero no estoy seguro de haberlo entendido correctamente.$0,d,0$

Sí, parece ser correcto. El filtro fraccional está definido por la expansión binomial:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

Tenga en cuenta que es el operador de retraso y que este filtro no se puede simplificar cuando . Ahora considere el proceso:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

En expansión, obtenemos:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

que se puede escribir como:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

Consulte Dinámica de precios de activos, volatilidad y predicción de Stephen J. Taylor (p. 243 en la edición de 2007) o Series temporales: teoría y métodos de Brockwell y Davis para obtener más referencias.