Prueba de hipótesis de Poisson para dos parámetros

Entonces, por diversión, tomo algunos de los datos de las llamadas del centro de atención telefónica en el que trabajo e intento hacer algunas pruebas de hipótesis sobre ellos, específicamente el número de llamadas recibidas en una semana, y uso una distribución de Poisson para ajustarlo. Debido al tema de mi trabajo, hay dos tipos de semanas, llamemos a uno de ellos en las semanas en las que supongo que hay más llamadas, y en las semanas fuera donde supongo que hay menos.

Tengo una teoría de que el de las semanas fuera (llamémoslo λ 1 ) es mayor que el del de fuera de las semanas (llamémoslo λ 2 )$\lambda$$\lambda_1$$\lambda_2$

Entonces, la hipótesis que quiero probar es $H_0: \lambda_1 > \lambda_2, H_1: \lambda_1 \leq \lambda_2$

Sé cómo probar un parámetro (digamos ) pero no estoy tan seguro de cómo hacer 2 dado un conjunto de datos. Digamos que tomo dos semanas de datos de cada uno X 1 = 2 y X 2 = 3 para la semana libre e Y 1 = 2 e Y 2 = 6 para la semana. ¿Alguien puede ayudarme a caminar a través de esta versión más simple para que pueda aplicarlo a un conjunto de datos más grande? Cualquier ayuda se agradece, gracias.$H_0: \lambda_1 > 1, H_1: \lambda_1 \leq 1$$X_1 = 2$$X_2 = 3$$Y_1 = 2$$Y_2=6$

Tenga en cuenta que normalmente la igualdad va en nulo (con buena razón).

Dejando ese tema a un lado, mencionaré un par de enfoques para probar este tipo de hipótesis.

1. Una prueba muy simple: condición en el recuento total observado , que lo convierte en una prueba binomial de proporciones. Imagínese hay w en on-semana y w off off-semana y w semanas combinados.$n$$w_\text{on}$$w_\text{off}$$w$

Luego, bajo la hipótesis nula, las proporciones esperadas son yw$\frac{w_\text{on}}{w}$$\frac{w_\text{off}}{w}$

2. $\lambda$

Hay otras opiniones al respecto.

¿Qué pasa con el GLM con estructura de error de Poisson y enlace de registro? Pero la idea sobre binomio puede ser más poderosa.

Lo resolvería con un GLM de Poisson o Cuasi-Poisson con preferencia por un binomio cuasi-Poisson o negativo.

El problema con el uso de Poisson tradicional es que requiere que la varianza y la media sean iguales, lo que muy probablemente no sea el caso. El cuasi-Poisson o NB estima la varianza sin restricción de la media.

Podrías hacer cualquiera de estos en R muy fácilmente.

# week on = 1, week off = 0
week.status <- c(1, 1, 0, 0)
calls <- c(2, 6, 2, 3)
model <- glm(calls ~ week.status, family = poisson())
# or change the poisson() after family to quasipoisson() 
# or use the neg binomial glm from the MASS package

El enfoque GLM es beneficioso y puede expandirse para incluir variables adicionales (por ejemplo, mes del año) que podrían afectar el volumen de llamadas.

Para hacerlo a mano, probablemente usaría una aproximación normal y una prueba t de dos muestras.

Comenzamos con la Estimación de máxima verosimilitud para el parámetro de Poisson, que es la media.

$\hat\lambda_1=\bar Y~~and~~\hat\lambda_2=\bar X$

$\bar Y-\bar X\sim N(\lambda_1-\lambda_2,\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2})$

$\frac{(\bar Y-\bar X)-\lambda_1-\lambda_2}{\sqrt{\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2}}}$

$Z<Critical~Value$

A partir de la página 125 de la hipótesis estadística de pruebas de Casella, se describe la respuesta al tipo de pregunta que ha formulado. He adjuntado un enlace a un pdf que encontré en línea para su referencia. Hipótesis estadística de las pruebas de Casella, tercera edición .