, luego?

Demuestre o proporcione un contraejemplo:

Si , entonces $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Mi intento :

FALSO: Supongamos que $X$ puede tomar valores negativos, y suponga que $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

ENTONCES $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , sin embargo, incluso para $n$ , $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ no es estrictamente negativo. En cambio, alterna negativo a positivo y negativo. Por lo tanto, $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ no converge casi seguramente a $X$ .

¿Es esta una respuesta razonable? Si no, ¿cómo puedo mejorar mi respuesta?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
fuente

X_{i}

$X_i$ que ser estrictamente positivo para que esto tenga sentido.

— user765195

Por supuesto, necesita

para definir

correctamente. Primero pruebe que

converge a

como (google "Cesaro mean" en Real Analysis y adapte el argumento). Luego, considere

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— Zen

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

La intuición es que estás calculando el promedio con más y más que están cada vez más cerca de , y terminan dominando el resultado.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— Zen

Respuestas:

Antes de probar algo de interés, observe que casi con seguridad para todo no es una condición necesaria para que ambas afirmaciones tengan sentido, lo que ilustra la secuencia determinista . $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

Además, la afirmación es falsa en general, como lo demuestra la siguiente secuencia determinista: . $(0, 1, 1, \dots)$

Ahora, suponga que casi seguro para todo , entonces el enunciado es verdadero con el siguiente argumento: $X_i >0$ $i$

DefinaPor la continuidad de , casi con seguridad. Por lo tanto, casi seguramente por un resultado para Cesaro significa también probado en los comentarios anteriores. Por lo tanto, por la continuidad de , casi con seguridad.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— ekvall
fuente

Este reclamo es falso. Doy prueba proporcionando un contraejemplo.

Supongamos que la secuencia aleatoria se define de la siguiente manera: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Claramente, es (1) degenerada y (2) converge casi seguramente a como por la fuerte ley de grandes números de Chebyshev. (Para ver esto, reescriba para .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

Sin embargo, dado que , . En consecuencia, , por lo que en el límite convergerá trivialmente a , eso es . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— Jeremias K
fuente

Parece que has olvidado el exponente .

1 / n

$1/n$

— whuber

Gracias whuber, lo arreglé :) Realmente debería trabajar en leer las cosas con más cuidado ... También probé primero que la declaración tampoco es válida para porque yo No leí correctamente.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— Jeremías K

Gracias. Todos estos cálculos parecen oscurecer una idea simple: si no es cero, no cambiará el límite cambiando cualquier número finito de a cero, pero eso hará que el producto sea cero y obtendrá una contradicción. Lo suficientemente justo. Sin embargo, a menos que se nos indique lo contrario, las declaraciones sobre productos infinitos deben entenderse como declaraciones sobre sumas infinitas de los logaritmos. En particular, el interés en esta pregunta se centra en el caso en el que cada es casi seguramente estrictamente positivo .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@whuber ese último comentario es interesante. ¿Es cierto que los límites de los productos son por convención, o tal vez por definición (?), Entendidos en términos de logaritmos? Si es así, también cambiaría la redacción de mi respuesta anterior. En particular, la última apelación a la continuidad sería superflua.

— ekvall

@ Estudiante El razonamiento en su respuesta está bien. En las aplicaciones estadísticas, es raro que alguien esté viendo ese límite de medios geométricos a menos que ya estén pensando en términos de logaritmos.

— whuber