Variación de la estadística


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La de Cohen es una de las formas más comunes en que medimos el tamaño de un efecto ( ver Wikipedia ). Simplemente mide la distancia entre dos medias en términos de la desviación estándar agrupada. ¿Cómo podemos derivar la fórmula matemática de la estimación de la varianza de la de Cohen ? ddd

Edición de diciembre de 2015: relacionada con esta pregunta está la idea de calcular intervalos de confianza alrededor de . Este artículo establece qued

σd2=n+n×+d22n+

donde es la suma de los dos tamaños de muestra es el producto de los dos tamaños de muestra. n ×n+n×

¿Cómo se deriva esta fórmula?


@Clarinetista: es algo controvertido editar la pregunta de otra persona para agregarle más sustancia y más preguntas (en lugar de mejorar la redacción). Me tomé la libertad de aprobar su edición (dado que usted otorgó una generosa recompensa y creo que su edición mejora la pregunta), pero otros podrían decidir retroceder.
ameba dice Reinstate Monica

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@amoeba No hay problema. Mientras la fórmula esté allí para (que no estaba allí antes) y está claro que estamos buscando una derivación matemática de la fórmula, está bien. σd2
Clarinetista

Creo que el denominador de la segunda fracción debería ser . Vea mi respuesta a continuación. 2(n+2)

Respuestas:


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Tenga en cuenta que la expresión de varianza en la pregunta es una aproximación. Hedges (1981) derivó la gran varianza muestral de y la aproximación en un entorno general (es decir, múltiples experimentos / estudios), y mi respuesta recorre las derivaciones en el artículo.d

Primero, los supuestos que utilizaremos son los siguientes:

Supongamos que tenemos dos grupos de tratamiento independientes, (tratamiento) y (control). Sean e las puntuaciones / respuestas / lo que sea de la asignatura en el grupo y la asignatura en el grupo , respectivamente.C Y T i Y C j i T j CTCYTiYCjiTjC

Suponemos que las respuestas se distribuyen normalmente y los grupos de tratamiento y control comparten una variación común, es decir

YTiN(μT,σ2),i=1,nTYCjN(μC,σ2),j=1,nC

El tamaño del efecto que estamos interesados ​​en estimar en cada estudio es . El estimador del tamaño del efecto que usaremos es d= ˉ Y T- ˉ Y Cδ=μTμCσ dondeS2kes la varianza muestral imparcial para el grupok.

d=Y¯TY¯C(nT1)ST2+(nC1)SC2nT+nC2
Sk2k

Consideremos las propiedades de muestra grande de . d

Primero, tenga en cuenta que: y (ser suelto con mi notación): ( n T - 1 ) S 2 T

Y¯TY¯CN(μTμC,σ2nT+nCnTnC)
y (nC-1)S 2 C
(1)(nT1)ST2σ2(nT+nC2)=1nT+nC2(nT1)ST2σ21nT+nC2χnT12
(2)(nC1)SC2σ2(nT+nC2)=1nT+nC2(nC1)SC2σ21nT+nC2χnC12

1σ2(nT1)ST2+(nC1)SC2nT+nC21nT+nC2χnT+nC22

re=Y¯T-Y¯C(norteT-1)ST2+(norteC-1)SC2norteT+norteC-2=(σnorteT+norteCnorteTnorteC)-1(Y¯T-Y¯C)(σnorteT+norteCnorteTnorteC)-1(norteT-1)ST2+(norteC-1)SC2norteT+norteC-2=(Y¯T-Y¯C)-(μT-μC)σnorteT+norteCnorteTnorteC+μT-μCσnorteT+norteCnorteTnorteC(norteT+norteCnorteTnorteC)-1(norteT-1)ST2+(norteC-1)SC2σ2(norteT+norteC-2)=norteT+norteCnorteTnorteC(θ+δnorteTnorteCnorteT+norteCVν)
θnorte(0 0,1)Vχν2ν=norteT+norteC-2renorteT+norteCnorteTnorteCnorteT+norteC-2δnorteTnorteCnorteT+norteC

t

(3)Vunr(re)=(norteT+norteC-2)(norteT+norteC-4 4)(norteT+norteC)norteTnorteC(1+δ2norteTnorteCnorteT+norteC)-δ2si2
si=Γ(norteT+norteC-22)norteT+norteC-22Γ(norteT+norteC-32)1-34 4(norteT+norteC-2)-1

δsire

Vunr(sire)=si2(norteT+norteC-2)(norteT+norteC-4 4)(norteT+norteC)norteTnorteC(1+δ2norteTnorteCnorteT+norteC)-δ2

norteT+norteC-2tνpag1+pag22ν

Vunr(re)norteT+norteCnorteTnorteC(1+δ2(norteTnorteCnorteT+norteC)2(norteT+norteC-2))=norteT+norteCnorteTnorteC+δ22(norteT+norteC-2)

δ


Y¯yoT-Y¯yoCsire

@Clarinetista Gracias! 1) ¿Cómo pueden tener el mismo índice? Typo, así es como! : P Son un artefacto de mi primer borrador de la respuesta. Lo arreglaré 2) Lo saqué del documento de Hedges; no sé su derivación en este momento, pero lo pensaré un poco más.

siΓ(norteT+norteC-22)

Derivación proporcionada para referencia: math.stackexchange.com/questions/1564587/… . Resulta que es probable que haya un error de señal.
Clarinetista

@ Mike: respuesta muy impresionante. Gracias por tomarse el tiempo de compartirlo con nosotros.
Denis Cousineau
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