Tenga en cuenta que la expresión de varianza en la pregunta es una aproximación. Hedges (1981) derivó la gran varianza muestral de y la aproximación en un entorno general (es decir, múltiples experimentos / estudios), y mi respuesta recorre las derivaciones en el artículo.re
Primero, los supuestos que utilizaremos son los siguientes:
Supongamos que tenemos dos grupos de tratamiento independientes, (tratamiento) y (control). Sean e las puntuaciones / respuestas / lo que sea de la asignatura en el grupo y la asignatura en el grupo , respectivamente.C Y T i Y C j i T j CTCYTyoYCjyoTjC
Suponemos que las respuestas se distribuyen normalmente y los grupos de tratamiento y control comparten una variación común, es decir
YTyoYCj∼ N( μT, σ2) ,i = 1 , ... nT∼ N( μC, σ2) ,j = 1 , ... nC
El tamaño del efecto que estamos interesados en estimar en cada estudio es . El estimador del tamaño del efecto que usaremos es
d= ˉ Y T- ˉ Y Cδ= μT- μCσ
dondeS2kes la varianza muestral imparcial para el grupok.
re= Y¯T- Y¯C( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnorteT+ nC- 2-------------√
S2kk
Consideremos las propiedades de muestra grande de . re
Primero, tenga en cuenta que:
y (ser suelto con mi notación):
( n T - 1 ) S 2 T
Y¯T- Y¯C∼ N( μT- μC,σ2norteT+ nCnorteTnorteC)
y
(nC-1)S 2 C( nT- 1 ) S2Tσ2( nT+ nC- 2 )= 1norteT+ nC- 2( nT- 1 ) S2Tσ2∼ 1norteT+ nC- 2χ2norteT- 1(1)
( nC- 1 ) S2Cσ2( nT+ nC- 2 )= 1norteT+ nC- 2( nC- 1 ) S2Cσ2∼ 1norteT+ nC- 2χ2norteC- 1(2)
1σ2( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnorteT+ nC- 2∼ 1norteT+ nC- 2χ2norteT+ nC- 2
re= Y¯T- Y¯C( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnorteT+ nC- 2-------------√= ( σnorteT+ nCnorteTnorteC-----√)- 1( Y¯T- Y¯C)( σnorteT+ nCnorteTnorteC-----√)- 1( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2CnorteT+ nC- 2-------------√= ( Y¯T- Y¯C) - ( μT- μC)σnorteT+ nCnorteTnorteC√+ μT- μCσnorteT+ nCnorteTnorteC√( nT+ nCnorteTnorteC-----√)- 1( nT- 1 ) S2T+ ( nC- 1 ) S2Cσ2( nT+ nC- 2 )-------------√= nT+ nCnorteTnorteC-------√⎛⎝⎜θ + δnorteTnorteCnorteT+ nC-----√Vν--√⎞⎠⎟
θ ∼ N( 0 , 1 )V∼ χ2νν= nT+ nC- 2renorteT+ nCnorteTnorteC-----√norteT+ nC- 2δnorteTnorteCnorteT+ nC-----√
t
V a r (d) = ( nT+ nC- 2 )( nT+ nC- 4 )( nT+ nC)norteTnorteC( 1 + δ2norteTnorteCnorteT+ nC) - δ2si2(3)
b = Γ ( nT+ nC- 22)norteT+ nC- 22-------√Γ ( nT+ nC- 32)≈ 1 - 34 ( nT+ nC- 2 ) - 1
δb d
V a r (bd) = b2( nT+ nC- 2 )( nT+ nC- 4 )( nT+ nC)norteTnorteC( 1 + δ2norteTnorteCnorteT+ nC) - δ2
norteT+ nC- 2tνpag1 + p22 ν
V a r (d)≈ nT+ nCnorteTnorteC⎛⎝⎜1 + δ2( nTnorteCnorteT+ nC)2 ( nT+ nC- 2 )⎞⎠⎟= nT+ nCnorteTnorteC+ δ22 ( nT+ nC- 2 )
δ