¿Qué significa si la mediana o el promedio de las sumas es mayor que la suma de las sumas?

Estoy analizando la distribución de la latencia de la red. El tiempo medio de carga (U) es 0.5s. El tiempo medio de descarga (D) es 2s. Sin embargo, la mediana del tiempo total (para cada punto de datos, T = U + D) es 4s.

¿Qué conclusiones podrían extraerse sabiendo que la mediana de la suma es mucho mayor que la suma de las medianas de los sumandos?

Solo por curiosidad por las estadísticas, ¿qué significaría si esta pregunta reemplazara la mediana con el promedio?

random-variable median summations

— David Faux
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Para su información, esto no puede ser cierto para la media, porque es lineal:

, y lo mismo es cierto para los promedios de muestra.

E [X + Y] = E X + E Y

$\mathbb E[X + Y] = \mathbb E X + \mathbb E Y$

— Dougal

$\text{median}(X_1)+\text{median}(X_2)<\text{median}(X_1+X_2)$

Es muy fácil construir ejemplos discretos donde ocurre ese tipo de cosas, pero también es común en situaciones continuas.

Por ejemplo, puede suceder con distribuciones continuas sesgadas: con una cola derecha pesada, las medianas pueden ser pequeñas pero la mediana de la suma se "extrae" porque hay una buena posibilidad de que una de las dos sea grande y un valor superior la mediana generalmente va a estar muy por encima de ella, haciendo que la mediana de la suma sea más grande que la suma de las medianas.

$X_1,X_2 \, \stackrel{\text{i.i.d.}}{ \sim} \operatorname{Exp}(1)$ $X_1$ $X_2$ $\log(2) \approx 0.693$ $1.4$ $X_1+X_2\sim \operatorname{Gamma}(2,1)$ $\approx 1.678$ $-W_{-1}(-\frac{1}{2 e}) - 1$

— Glen_b -Reinstate a Monica
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