¿Cómo puedo calcular

¿Cómo se puede evaluar la expectativa de la CDF normal al cuadrado en forma cerrada?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

Aquí, , son números reales, y y son las funciones de densidad y distribución de una variable aleatoria normal estándar, respectivamente. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— Andrei
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Bueno, ¿dónde te quedas atascado? ¿Has intentado evaluarlo? Tal vez use el hecho de que

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— archivado el

Traté de evaluar la integral, utilizando la integración por partes y otras técnicas (simples), pero eso no me llevó a ninguna parte. Además, en realidad comencé con la variación para llegar aquí. Encontré una pregunta similar ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ), pero la extensión al cuadrado de CDF no parece ser trivial.

— Andrei

¿Has considerado usar coordenadas polares?

— StatsStudent

No, no lo he hecho, ¿puedes detallar un poco?

— Andrei

Si y , entonces se distribuye uniformemente entre 0 y 1. Su segundo momento es entonces . Recuerdo tratar de calcular algo así como lo que se pide en general y , pero no encontraron soluciones cerradas.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

Como se señaló en mi comentario anterior, consulte Wikipedia para obtener una lista de integrales de funciones gaussianas. Usando su notación, le da donde es la función T de Owen definida por

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

Si conecta a obtendrá como los comentarios indican que debería. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— Soakley
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Muchas gracias, esto es exactamente lo que estaba buscando.

— Andrei