¿Cuál es la demostración de la varianza de la diferencia de dos variables dependientes?

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Sé que la varianza de la diferencia de dos variables independientes es la suma de las varianzas, y puedo demostrarlo. Quiero saber a dónde va la covarianza en el otro caso.

— Ricky
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Cuando e son variables dependientes con covarianza , entonces la varianza de su diferencia viene dada por Esto se menciona entre las propiedades básicas de variación en http://en.wikipedia.org/wiki/Variance . Si e no están correlacionados (que es el caso cuando son independientes), entonces su covarianza es cero y tenemos $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$

V a r [X - Y] = V a r [X] + V a r [Y] - 2 C o v [X, Y]

$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$

X

$X$

Y

$Y$

V a r [X - Y] = V a r [X] + V a r [Y]

$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$

— StijnDeVuyst
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Deje e ser dos variables aleatorias. Queremos mostrar que . $X$ $Y$ $Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

Definamos , entonces tenemos: . $Z:=-Y$ $Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$

$Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$ , ya que $Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

También tenemos , porque . $Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$ $Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$

Al poner todas las piezas juntas, tenemos . $Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

— scienceseba
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