cuando es variable continua

Sé que para la variable continua . $P[X=x]=0$

Pero no puedo visualizar que si , hay un número infinito de posibles 's. ¿Y también por qué sus probabilidades se vuelven infinitamente pequeñas? $P[X=x]=0$ $x$

— hora
fuente

posible duplicado de probabilidad condicional de variable continua

— Xi'an

Ya hay dos votos para cerrar esta pregunta como duplicado. No estoy de acuerdo Este es un tema bastante básico, uno de los que probablemente volverá a aparecer en el futuro, por lo que sería bueno si tuviera una respuesta directa y de alta calidad, para que podamos referirnos a él en el futuro. El enlace proporcionado por @ Xi'an puede ser tratado como duplicado, pero también es bastante específico y difícil de encontrar a través de la búsqueda. El enlace tampoco proporciona una respuesta exhaustiva, mientras que esta amenaza parece converger a tal. Creo que debería dejarse abierto como referencia futura.

— Tim

Puede ser útil considerar lo inverso de esta situación. Dejar que sea cualquier variable aleatoria y dejar que ser cualquier número real positivo. Solo puede haber un número finito de para el cual , de lo contrario, al sumar todas estas probabilidades sobre eventos disjuntos, concluiría que la probabilidad total es al menos

, que eventualmente excede

. (Esta es la propiedad de los números reales de Arquímedes ). Este razonamiento usa solo tres axiomas : las probabilidades de eventos disjuntos suman, la probabilidad total es

y el axioma de Arquímedes.

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@Tim Gracias, pero publiqué este pensamiento como un comentario, en lugar de una respuesta, porque está incompleto: no he descubierto una forma elemental de explicar lo que sucede en el límite como

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ . Parece requerir cierto conocimiento de las cardinalidades de conjuntos infinitos.

— whuber

@ Xi'an Estoy de acuerdo, pero el hilo que propusiste no es un duplicado lo suficientemente cercano. Esto es algo difícil de buscar. ¿Quizás conoces otros hilos que duplican esta pregunta?

— whuber

Respuestas:

Las probabilidades son modelos para las frecuencias relativas de observaciones. Si se observa que un evento ha ocurrido veces en ensayos, entonces su frecuencia relativa es y generalmente se cree que el valor numérico de la relación anterior es una aproximación cercana a cuando es "grande" donde lo que se entiende por "grande" se deja mejor a la imaginación (y credulidad) del lector. $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Ahora, se ha observado que si nuestro modelo de es el de una variable aleatoria continua, entonces las muestras de son números distintos. Por lo tanto, la frecuencia relativa de un número específico (o, más pedagógicamente, el evento ) es si uno de los tiene el valor , o si todos los son diferentes de . Si un lector más escéptico recolecta muestras adicionales , la frecuencia relativa del evento es $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ o continúa disfrutando del valor . Por lo tanto, uno está tentado a adivinar que a debe asignar el valor ya que es una buena aproximación a la frecuencia relativa observada. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Nota: la explicación anterior es (generalmente) satisfactoria para los ingenieros y otras personas interesadas en la aplicación de probabilidad y estadística (es decir, aquellos que creen que los axiomas de probabilidad fueron elegidos para hacer de la teoría un buen modelo de realidad), pero totalmente insatisfactoria a muchos otros También es posible abordar su pregunta desde una perspectiva puramente matemática o estadística y demostrar que debe tener el valor siempre que sea una variable aleatoria continua a través de deducciones lógicas de los axiomas de probabilidad, y sin ninguna referencia a frecuencia relativa u observaciones físicas, etc. $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Dilip Sarwate
fuente

+1 "Nota: la explicación anterior es ... satisfactoria para ... aquellos que creen que los axiomas de probabilidad fueron elegidos para hacer de la teoría un buen modelo de realidad), pero totalmente insatisfactoria ...", en fraseo preferido de internet, jajaja.

— gung - Restablece a Monica

No entiendo lo que quiere usted decir con que se ha observado que si es continua, entonces ... $X$ . ¿Cómo podemos observar eso?

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurent Esa oración es un poco complicada, por lo que merece una nueva lectura. Despojado de algunos comentarios entre paréntesis, dice "se ha observado que ... las muestras ... son números distintos". En otras palabras, cuando se supone que tiene una distribución continua , entonces (casi seguramente) no habrá duplicados en ninguna muestra de finita . Eso se puede probar matemáticamente: no es una mera observación.

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent Creo que las observaciones de Dilip se hacen con un espíritu diferente al de eso. Esta respuesta no es un esfuerzo para proporcionar una demostración matemáticamente rigurosa, sino para proporcionar cierta intuición y motivación para un hecho que desconcierta a la OP. Este enfoque me intriga porque tiene el potencial de cerrar la brecha entre la teoría de la probabilidad discreta que tradicionalmente se enseña a los principiantes y la teoría general de la probabilidad más rica basada en la teoría de la medida.

— whuber

@whuber Entiendo el espíritu, pero a primera vista no estaba convencido de que la propiedad sin vínculos sea más intuitiva que la propiedad de probabilidad cero. Para esto es realmente lo mismo: " " .

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent

Sea el espacio de probabilidad subyacente. Decimos que una función medible es una variable aleatoria absolutamente continua si la probabilidad mide sobre definida por , conocida como la distribución de , está dominada por la medida de Lebesgue , en el sentido de que para cada conjunto Borel , si , entonces . En este caso, el teorema de Radon-Nikodym nos dice que hay un medible $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , definido en casi todas partes equivalencia, de modo que . Sea un subconjunto contable de . Como es contablemente aditivo, . Pero por cada . Debido a la propiedad Archimedean de los números reales, ya que , la desigualdad cumple para cada si y solo si $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , lo que implica que . De la supuesta continuidad absoluta de se deduce que .

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— zen
fuente

La variable aleatoria continua no necesita ser absolutamente continua (podría no tener densidad).

— Zhanxiong

Camelo. "Variable aleatoria continua" es un nombre informal para "una variable aleatoria que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue". Por lo tanto, Radon-Nikodym garantiza que existe una densidad. Una variable aleatoria con una distribución singular (por ejemplo, Cantor) es algo diferente. Estás engañando a los estudiantes potenciales con tu comentario falso.

— Zen

Cuando criticaste a alguien, muestra la cita a la que te refieres. ¿Qué libro de texto de probabilidad dice que "variable aleatoria continua" es un nombre informal para "una variable aleatoria que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue" ? Además, este problema se puede resolver sin requerir que tenga una densidad, consulte mi prueba a continuación.

X

$X$

— Zhanxiong

Wikipedia no está de acuerdo con usted, @Solitary: " Una distribución de probabilidad continua es una distribución de probabilidad que tiene una función de densidad de probabilidad. Los matemáticos también llaman a esa distribución absolutamente continua [...]".

— ameba dice Reinstate Monica

$X$ es una variable aleatoria continua significa que su función de distribución es continua . Esta es la única condición que tenemos pero de la cual podemos derivar que . $F$ $P(X = x) = 0$

De hecho, por la continuidad de , tenemos para cada , por lo tanto: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
fuente

Si la distribución de un rv es Cantor, entonces su función de distribución es continua, pero es una variable aleatoria singular; No es una variable aleatoria continua.

X

$X$

X

$X$

— Zen

Mi amigo, esto en realidad puede ser un contraejemplo a tu propia respuesta, no la mía. Dado que existe tal rv continuo singular , es necesario distinguir rv continuo absoluto y rv continuo singular , aunque sus funciones de distribución son todas continuas. Para igualar rv continuo y rv continuo absoluto es ambiguo.

— Zhanxiong

No lo es, pero no lo oirás, amigo mío.

— Zen

Por cierto, en realidad estás "demostrando" que si por cada , entonces por cada .

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Zen