Considere una serie de tiempo simple:
> tp <- seq_len(10)
> tp
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
podemos calcular una matriz de adyacencia para esta serie de tiempo que representa los enlaces temporales entre muestras. Al calcular esta matriz, agregamos un sitio imaginario en el tiempo 0 y el enlace entre esta observación y la primera observación real en el tiempo 1 se conoce como enlace 0. Entre el tiempo 1 y el tiempo 2, el enlace es el enlace 1 y así sucesivamente. Debido a que el tiempo es un proceso direccional, los sitios están conectados a enlaces (afectados por) que están "aguas arriba" del sitio. Por lo tanto, cada sitio está conectado al enlace 0, pero el enlace 9 solo está conectado al sitio 10; ocurre temporalmente después de cada sitio, excepto el sitio 10. La matriz de adyacencia así definida se crea de la siguiente manera:
> adjmat <- matrix(0, ncol = length(tp), nrow = length(tp))
> adjmat[lower.tri(adjmat, diag = TRUE)] <- 1
> rownames(adjmat) <- paste("Site", seq_along(tp))
> colnames(adjmat) <- paste("Link", seq_along(tp)-1)
> adjmat
Link 0 Link 1 Link 2 Link 3 Link 4 Link 5 Link 6 Link 7
Site 1 1 0 0 0 0 0 0 0
Site 2 1 1 0 0 0 0 0 0
Site 3 1 1 1 0 0 0 0 0
Site 4 1 1 1 1 0 0 0 0
Site 5 1 1 1 1 1 0 0 0
Site 6 1 1 1 1 1 1 0 0
Site 7 1 1 1 1 1 1 1 0
Site 8 1 1 1 1 1 1 1 1
Site 9 1 1 1 1 1 1 1 1
Site 10 1 1 1 1 1 1 1 1
Link 8 Link 9
Site 1 0 0
Site 2 0 0
Site 3 0 0
Site 4 0 0
Site 5 0 0
Site 6 0 0
Site 7 0 0
Site 8 0 0
Site 9 1 0
Site 10 1 1
La SVD proporciona una descomposición de esta matriz en funciones propias de variación como diferentes escalas temporales. La siguiente figura muestra las funciones extraídas (de SVD$u)
> SVD <- svd(adjmat, nu = length(tp), nv = 0)
Las funciones propias son componentes periódicos en varias escalas temporales. Intentar tp <- seq_len(25)(o más) muestra esto mejor que el ejemplo más corto que mostré arriba.
¿Este tipo de análisis tiene un nombre propio en estadística? Suena similar al análisis de espectro singular, pero eso es una descomposición de una serie de tiempo incrustada (una matriz cuyas columnas son versiones rezagadas de la serie de tiempo).
Antecedentes: se me ocurrió esta idea modificando una idea de la ecología espacial llamada Asymmetric Eigenvector Maps (AEM) que considera un proceso espacial con dirección conocida y forma una matriz de adyacencia entre una matriz espacial de muestras que contiene 1s donde se puede conectar una muestra a un enlace y un 0 donde no puede, bajo la restricción de que los enlaces solo pueden conectarse "aguas abajo", de ahí la naturaleza asimétrica del análisis. Lo que describí anteriormente es una versión unidimensional del método AEM. Puede encontrar una reimpresión del método AEM aquí si está interesado.
La figura fue producida con:
layout(matrix(1:12, ncol = 3, nrow = 4))
op <- par(mar = c(3,4,1,1))
apply(SVD$u, 2, function(x, t) plot(t, x, type = "l", xlab = "", ylab = ""),
t = tp)
par(op)
layout(1)