La convergencia casi segura no implica una convergencia completa

Decimos que convergen completamente a si por cada .X ϵ > 0 ∑ ∞ n = 1 P ( | X n - X | > ϵ ) < $X_1, X_2, \ldots$$X$$\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Con el lema de Borel Cantelli es sencillo demostrar que la convergencia completa implica una convergencia casi segura.

Estoy buscando un ejemplo en el que casi no se pueda probar la convergencia con Borel Cantelli. Esto es, una secuencia de variables aleatorias que converge casi seguramente pero no completamente.

Sea con el Borel sigma-álgebra y la medida uniforme . DefinirF$\Omega=(0,1)$$\mathfrak{F}$$\mu$

y contrario. Los son obviamente medibles en el espacio de probabilidad .X n ( Ω , F , μ $X_n(\omega)=0$$X_n$$(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Para cualquier y todos , es el caso de que . Por lo tanto, por definición, la secuencia converge a (¡no solo casi con seguridad!).N > 1 / ω X n ( ω ) = 0 ( X n ) $\omega\in\Omega$$N \gt 1/\omega$$X_n(\omega)=0$$(X_n)$$0$

Sin embargo, siempre que , , de dondePr ( X n > ϵ ) = Pr ( X n ≠ 0 ) = 1 /$0 \lt \epsilon \lt 1$$\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

que diverge a .$\infty$