Límite superior en , donde y

$X$ es una variable aleatoria discreta que puede tomar valores de . Como es una función convexa, podemos utilizar la desigualdad de Jensen para derivar un límite inferior : ¿Es posible derivar un límite superior ? $(0,1)$ $\varphi(x)=1/x$

E [\frac{1}{1 - X}] \geq \frac{1}{1 - E [X]} = \frac{1}{1 - a}

$E\left[\frac{1}{1-X}\right]\ge \frac{1}{1-E[X]}=\frac{1}{1-a}$

probability expected-value bounds

— Miguel
fuente

Considere lo que sucede cuando X tiene un límite superior que se aproxima a 1 desde abajo. Ahora considere una distribución que incluye 1 con densidad distinta de cero. Ahora considere una distribución discreta, donde 1 tiene una probabilidad distinta de cero. Es posible que desee comenzar con algunas restricciones

— Glen_b: reinstale a Monica

Se puede aplicar una generalización de esta pregunta a la variable aleatoria con la expectativa para obtener la respuesta de inmediato: consulte stats.stackexchange.com/questions/141766 . La desigualdad siempre que esté allí es estrecha: es decir, el límite superior es alcanzable. Proporciona un límite superior útil (no infinito) si el supremum de es menor que .

1 - X

$1-X$

1 - a

$1-a$

X

$X$

1

$1$

— whuber

No hay límite superior.

Intuitivamente, si tiene un apoyo sustancial a lo largo de una secuencia que se aproxima a , entonces podría tener una expectativa divergente (arbitrariamente grande). Para mostrar que no hay límite superior, todo lo que tenemos que hacer es encontrar una combinación de soporte y probabilidades que logre la expectativa deseada de . Las siguientes construcciones explícitamente un tal . $X$ $1$ $1/(1-X)$ $a$ $X$

Suponga que (se elegirá más adelante) y (también se elegirá más adelante). Deje que tome los valores con probabilidades . Entonces $0 \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $X$

a_{n} = 1 - λ n^{- s}

$a_n = 1 - \lambda n^{-s}$

p_{n} = \frac{n^{- s}}{ζ (s)},

$p_n = \frac{n^{-s}}{\zeta(s)},$

n = 1, 2, \dots

$n = 1, 2, \ldots$

a = E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} a_{n} = \frac{1}{ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} (1 - λ n^{- s}) = 1 - λ \frac{ζ (2 s)}{ζ (s)} .

$a = \mathbb{E}(X) = \sum_{n=1}^\infty p_n a_n = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1 - \lambda n^{-s}\right) = 1 - \lambda \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

El rango de es el intervalo , ya que este gráfico parcial indica: $f(s) = \zeta(2s)/\zeta(s)$ $(0,1)$

Figura de la relación zeta

Seleccionando tal que , elija para el cual ; es decir, . Esto construye una con todas las propiedades indicadas. $\lambda$ $1-a \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $f(s) = (1-a)/\lambda$ $a = 1 - \lambda f(s)$ $X$

Considerar

E (\frac{1}{1 - X}) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \frac{n^{s}}{λ} = \frac{1}{λ ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} 1.

$\mathbb{E}\left(\frac{1}{1-X}\right) = \sum_{n=1}^\infty p_n \frac{n^s}{\lambda} = \frac{1}{\lambda\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty 1.$

La suma diverge. En consecuencia, ningún límite superior es consistente con las condiciones establecidas.

— whuber
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