Probabilidad de un evento que no es medible

Sabemos por la teoría de la medida que hay eventos que no se pueden medir, es decir, no son medibles por Lebesgue. ¿Cómo llamamos a un evento con una probabilidad de que la medida de probabilidad no esté definida? ¿Qué tipo de declaraciones haríamos sobre tal evento?

probability estimation

— Schenectady
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Esto no computa. Tal vez necesito café o estoy leyendo mal esto. Hay una diferencia entre una función de medida que no se define y un conjunto que no se puede medir. Si la pregunta está relacionada con la función, entonces es simplemente un punto en el que la función no está definida. Eso no excluye la posibilidad de una función que se define y es una medida de probabilidad válida.

— Iterator

Si no puede establecer un conjunto no medible de Lebesgue sin el axioma de elección, ¿cómo propone saber si un evento particular con una probabilidad no medible ha sucedido o no?

— Henry

@Henry: El OP puede referirse solo a la terminología. En cuanto a cómo podría referirme a tal evento, tendría que invocar el Infinite Improbability Drive de Douglas Adams. O llámelo un fenómeno de la Reina Blanca, ya que podría creer 6 cosas imposibles antes del desayuno. :)

— Iterator

Como señaló Cardinal, los conjuntos no medibles se usan ampliamente en la teoría de la probabilidad. El libro Convergencia débil y procesos empíricos de van der Vaart ofrece una muy buena introducción. La lectura de este libro requiere bastante experiencia en matemáticas, pero la teoría presentada es hermosa en mi opinión.

— mpiktas

¿Le interesan solo los resultados que involucran la medida de Lebesgue o, más generalmente, dentro del marco de la teoría de la probabilidad? Parece haber algunas dudas sobre esto entre los participantes aquí.

— cardenal

Respuestas:

Como dije en los comentarios, en el libro: A. van der Vaart y A. Wellner describen cómo lidiar con este tipo de eventos (conjuntos no medibles): convergencia débil y procesos empíricos . Puedes navegar por las primeras páginas.

La solución de cómo lidiar con estos conjuntos es bastante simple. Aproximarlos con conjuntos medibles. Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad . Para cualquier conjunto defina la probabilidad externa (está en la página 6 del libro): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Resulta que puedes construir una teoría muy fructífera con este tipo de definición.

— mpiktas
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Aunque no soy un experto en teoría de procesos empíricos, tengo la impresión de que el uso de probabilidades externas no se basa realmente en un deseo de asignar probabilidades a conjuntos no medibles, sino porque no quieres pasar por la molestia de en realidad demostrando mensurabilidad todo el tiempo. Y si puedes vivir sin cosas como el teorema de Fubini, entonces básicamente no pierdes nada simplemente calculando probabilidades externas.

— NRH

Editar: A la luz del comentario del cardenal: Todo lo que digo a continuación es implícitamente sobre la medida de Lebesgue (una medida completa). Al releer su pregunta, parece que eso es también lo que está preguntando. En el caso general de la medida de Borel, podría ser posible extender la medida para incluir su conjunto (algo que no es posible con la medida de Lebesgue porque ya es lo más grande posible).

La probabilidad de tal evento no se definiría. Período. Al igual que una función con valor real no está definida para un número complejo (no real), una medida de probabilidad se define en conjuntos medibles pero no en los conjuntos no medibles.

Entonces, ¿qué declaraciones podríamos hacer sobre tal evento? Bueno, para empezar, tal evento debería definirse utilizando el axioma de elección. Esto significa que todos los conjuntos que podemos describir mediante alguna regla están excluidos. Es decir, todos los conjuntos en los que generalmente estamos interesados están excluidos.

Pero, ¿no podríamos decir algo sobre la probabilidad de un evento no medible? ¿Ponerle un límite o algo así? La paradoja de Banach-Tarski muestra que esto no funcionará. Si la medida del número finito de piezas en el que Banach-Tarski descompone la esfera tuviera un límite superior (digamos, la medida de la esfera), al construir suficientes esferas nos encontraríamos con una contradicción. Mediante un argumento similar al revés, vemos que las piezas no pueden tener un límite inferior no trivial.

No he demostrado que todos los conjuntos no medibles sean tan problemáticos, aunque creo que una persona más inteligente que yo debería ser capaz de presentar un argumento que demuestre que no podemos poner ningún límite no trivial de ninguna manera consistente en la "medida "de cualquier conjunto no medible (desafío a la comunidad).

En resumen, no podemos hacer ninguna declaración sobre la medida de probabilidad de un conjunto de este tipo, este no es el fin del mundo porque todos los conjuntos relevantes son medibles.

— Har
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Esta es una respuesta interesante y una respuesta informativa. Pero, podría estar demasiado concentrado en la mensurabilidad de Lebesgue. Los conjuntos no medibles son mucho más frecuentes en la teoría de la probabilidad.

— cardenal

Ya hay buenas respuestas, pero permítanme contribuir con otro punto. La medida de Lebesgue a menudo se considera en el álgebra de Lebesgue , que está completa y, como ya se señaló, necesitamos el axioma de elección para establecer conjuntos de Lebesgue no medibles. En la teoría de la probabilidad general, y, en particular, en relación con los procesos estocásticos, está lejos de ser obvio que pueda realizar una finalización relevante del álgebra, y los eventos no medibles son menos exóticos. En cierto sentido, la brecha entre Borel álgebra y Lebesgue -algebra en es más interesante que los conjuntos exóticos que no están en Lebesgue -algebra. $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

El problema que veo principalmente, que está relacionado con la pregunta, es que un conjunto (o una función) puede no ser obviamente medible. En algunos casos puede probar que realmente lo es, pero puede ser difícil, y en otros casos solo puede probar que es medible cuando extiende el álgebra por los conjuntos nulos de alguna medida. Para investigar las extensiones de Borel álgebras en espacios topológicos, a menudo encontrará los llamados conjuntos de Souslin o conjuntos analíticos, que no necesitan ser medibles por Borel. $\sigma$ $\sigma$

— NRH
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