Núcleo de transición de Gibbs Sampler

Deje que sea la distribución objetivo en que es absolutamente continua wrt a la medida dimensional de Lebesgue, es decir: $\pi$ $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$ $d$

$\pi$ admite una densidad wrt a con $\pi(x_1,...,x_d)$ $\lambda^d$

λ^{re} (re X_{1}, . . ., re X_{re}) = λ (re X_{1}) \cdot \cdot \cdot λ (re X_{re})

$\lambda^d(dx_1,...,dx_d) = \lambda(dx_1) \cdot \cdot \cdot \lambda (dx_d)$

Supongamos que se condicionales completos de . Entonces, el núcleo de transición del Gibbs-Sampler es claramente el producto de los condicionales completos de . $\pi_i(x_i|x_{-i})$ $\pi$ $\pi$

¿El núcleo de transición es absolutamente continuo wrt a la medida dimensional de Lebesgue también? $d$

— usuario2016445
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Estoy muy confundido sobre el capítulo de propiedades de convergencia de la muestra de Gibbs escrita por Casella y Robert. Para esta pregunta, es bastante obvio, pero necesito estar seguro porque es para mi tesis de maestría

— usuario2016445

lo siento por nuestro capítulo confundiéndote ...!

— Xi'an

Eres afortunado de que uno de los autores responda tu pregunta.

— Glen_b -Reinstale a Monica

Si escribe la transición del núcleo de muestreo sistemático de Gibbs, obtendrá para cualquier conjunto de productos y, por lo tanto, es la densidad de un medida de probabilidad que es absolutamente continua contra la medida de Lebesgue en .

PAGS (X^{'} \in {UNA}_{1} \times \dots \times {UNA}_{re} El | X = X) = \int_{{UNA}_{1}} π_{1} (X_{1}^{'} El | X_{- 1}) {\int_{{UNA}_{2}} π_{2} (X_{2}^{'} El | X_{1}^{'}, X_{- 1 : 2}) \dots {\int_{{UNA}_{re}} π_{re} (X_{1}^{'} El | X_{- re}^{'}) λ (re X_{re}^{'})} \dots λ (re X_{2}^{'})} λ (re X_{1}^{'})

$\mathbb{P}(X'\in A_1\times\cdots\times A_d|X=x)=\int_{A_1} \pi_1(x'_1|x_{-1})\Big\{\int_{A_2} \pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\cdots \left\{\int_{A_d} \pi_d(x'_1|x_{-d}')\lambda(\text{d}x_d')\right\} \cdots\lambda(\text{d}x_2')\Big\}\lambda(\text{d}x_1')$

A_{1} \times \dots \times A_{d} \in B (R^{d})

$A_1\times\cdots\times A_d\in\mathcal{B}(\mathbb{R^d})$

K (X, X^{'}) = π_{1} (X_{1}^{'} El | X_{- 1}) \times π_{2} (X_{2}^{'} El | X_{1}^{'}, X_{- 1 : 2}) \times \dots \times π_{re} (X_{re}^{'} El | X_{- re}^{'})

$K(x,x')=\pi_1(x'_1|x_{-1})\times\pi_2(x'_2|x'_1,x_{-1:2})\times\cdots\times\pi_d(x'_d|x_{-d}')$

(R^{d}, B (R^{d}))

$(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R^d}))$

— Xi'an
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eso es muy gracioso :) Gracias de nuevo, ahora me siento muy cómodo con mi capítulo por las propiedades de convergencia de la muestra de Gibbs. ¡Realmente quiero agradecerles por el capítulo de propiedades de convergencia para las metrópolis! Las condiciones mínimas necesarias son brillantes y realmente escribo una hermosa prueba de la irreductibilidad de la cadena de Markov correspondiente del MH-Algo.

— user2016445