De exp (coeficientes) a Odds Ratio y su interpretación en regresión logística con factores

Realicé una regresión lineal de aceptación en la universidad contra los puntajes del SAT y los antecedentes familiares / étnicos. Los datos son ficticios. Este es un seguimiento de una pregunta anterior, ya respondida. La pregunta se centra en la recopilación e interpretación de las razones de posibilidades al dejar a un lado los puntajes del SAT por simplicidad.

Las variables son Accepted(0 o 1) y Background("rojo" o "azul"). Configuré los datos para que las personas con antecedentes "rojos" tuvieran más probabilidades de ingresar:

fit <- glm(Accepted~Background, data=dat, family="binomial")
exp(cbind(Odds_Ratio_RedvBlue=coef(fit), confint(fit)))

                        Odds_Ratio_RedvBlue             2.5 %       97.5 %
(Intercept)             0.7088608                     0.5553459   0.9017961
Backgroundred           2.4480042                     1.7397640   3.4595454

Preguntas:

1. ¿Es 0.7 la proporción impar de una persona con antecedentes "azules" aceptada? Lo pregunto porque también obtengo 0.7 para " Backgroundblue" si en su lugar ejecuto el siguiente código:

   fit <- glm(Accepted~Background-1, data=dat, family="binomial")
   exp(cbind(OR=coef(fit), confint(fit)))

2. ¿No debería aceptarse la odds ratio de "rojo" ( ) solo el recíproco: ( O d d s B l u e = 1 / O d d s R e d )?$\rm Accepted/Red:Accepted/Blue$$\rm OddsBlue = 1 / OddsRed$

He estado trabajando para responder mi pregunta calculando manualmente las probabilidades y las razones de probabilidades:

Acceptance   blue            red            Grand Total
0            158             102                260
1            112             177                289
Total        270             279                549

Entonces, el Odds Ratio de ingresar a la escuela de Red over Blue es:

$$\frac{\rm Odds\ Accept\ If\ Red}{\rm Odds\ Acccept\ If\ Blue} = \frac{^{177}/_{102}}{^{112}/_{158}} = \frac {1.7353}{0.7089} = 2.448$$

Y este es el Backgroundredregreso de:

fit <- glm(Accepted~Background, data=dat, family="binomial")
exp(cbind(Odds_and_OR=coef(fit), confint(fit)))

                      Odds_and_OR                         2.5 %      97.5 %
(Intercept)             0.7088608                     0.5553459   0.9017961
Backgroundred           2.4480042                     1.7397640   3.4595454

(Intercept)$112/158 = 0.7089$

Si en cambio, ejecuto:

fit2 <- glm(Accepted~Background-1, data=dat, family="binomial")
exp(cbind(Odds=coef(fit2), confint(fit2)))

                        Odds            2.5 %      97.5 %
Backgroundblue     0.7088608        0.5553459   0.9017961
Backgroundred      1.7352941        1.3632702   2.2206569

Los retornos son precisamente las probabilidades de ser 'azul': Backgroundblue(0.7089) y las probabilidades de ser aceptado como 'rojo': Backgroundred(1.7353). No hay odds ratio allí. Por lo tanto, no se espera que los dos valores de retorno sean recíprocos.

Finalmente, ¿cómo leer los resultados si hay 3 factores en el regresor categórico?

Mismo cálculo manual versus [R]:

Creé un conjunto de datos ficticios diferente con la misma premisa, pero esta vez había tres orígenes étnicos: "rojo", "azul" y "naranja", y ejecuté la misma secuencia:

Primero, la tabla de contingencia:

Acceptance  blue    orange  red   Total
0             86        65  130     281
1             64        42  162     268
Total        150       107  292     549

Y calculé las probabilidades de entrar para cada grupo étnico:

• Las probabilidades aceptan si rojo = 1.246154;
• Las probabilidades aceptan si el azul = 0.744186;
• Las probabilidades aceptan si Naranja = 0.646154

Además de las diferentes Odds Ratios :

• O rojo v azul = 1.674519;
• O rojo v naranja = 1.928571;
• O azul v rojo = 0.597186;
• O azul v naranja = 1.151717;
• O naranja v rojo = 0.518519; y
• O naranja v azul = 0.868269

Y procedió con la regresión logística ahora rutinaria seguida de exponenciación de coeficientes:

fit <- glm(Accepted~Background, data=dat, family="binomial")
exp(cbind(ODDS=coef(fit), confint(fit)))

                      ODDS     2.5 %   97.5 %
(Intercept)      0.7441860 0.5367042 1.026588
Backgroundorange 0.8682692 0.5223358 1.437108
Backgroundred    1.6745192 1.1271430 2.497853

Ceder las probabilidades de obtener "blues" como (Intercept), y las Odds Ratios de Orange versus Blue in Backgroundorange, y el OR de Red v Blue in Backgroundred.

Por otro lado, la regresión sin intercepción predeciblemente devolvió solo las tres probabilidades independientes :

fit2 <- glm(Accepted~Background-1, data=dat, family="binomial")
exp(cbind(ODDS=coef(fit2), confint(fit2)))

                      ODDS     2.5 %    97.5 %
Backgroundblue   0.7441860 0.5367042 1.0265875
Backgroundorange 0.6461538 0.4354366 0.9484999
Backgroundred    1.2461538 0.9900426 1.5715814