La definición de dependencia de la cola superior de rv X e Y con sus respectivas distribuciones marginales F y G es:
limu → 1PAG{ Y> G- 1( u ) | X> F- 1( u ) ) = λtu (Embrechts et al. (2001)). Es la probabilidad de que Y alcance valores extremadamente grandes, dado que la variable aleatoria X alcanza valores extremadamente grandes. Por lo tanto, puede entenderse de una manera que cuanto más cerca esté λ de uno, más cerca estará el vínculo entre X que alcanza valores altos e Y que alcanza valores grandes también.
Decir si las cópulas exhiben dependencia de la cola no es difícil en casos extremos: lo que importa es si las (dos) variables aparecen se comportan más de cerca en las esquinas del gráfico que en el centro.
La cópula gaussiana no tiene dependencia de la cola, aunque las variables aleatorias están altamente correlacionadas, parece que no hay una relación especial, ninguna de las variables alcanza valores grandes (en las esquinas de la tabla).
La ausencia de la dependencia de la cola se hace evidente cuando la trama se compara con la trama de simulaciones de los mismos marginales pero con cópula T-2.
Las cópulas T tienen la dependencia de la cola y la dependencia aumenta con la correlación y disminuye con el número de grados de libertad. Si se simularan más puntos, de modo que se cubriera una porción más grande del cuadrado de la unidad, casi veríamos los puntos como una línea delgada en las esquinas superior derecha e inferior izquierda. Pero incluso en el gráfico, es evidente que en los cuadrantes superior derecho e inferior izquierdo, es decir, donde ambas variables alcanzan valores muy bajos o muy altos, las dos variables parecen estar aún más estrechamente correlacionadas que en el cuerpo.
Los mercados financieros tienden a exhibir dependencia de la cola, especialmente una menor dependencia de la cola. Por ejemplo, los principales retornos de las acciones en tiempos normales tienen una correlación de aproximadamente 0.5, pero en septiembre / octubre de 2008, algunos pares tuvieron una correlación de más de 0.9, ambos cayeron masivamente. La cópula gaussiana se usó antes de las crisis para fijar el precio de los productos de crédito y, dado que no contaba con la dependencia de la cola, subestimó las pérdidas potenciales cuando muchos propietarios no pudieron pagar. Los pagos de un propietario pueden entenderse como variables aleatorias, y demostraron estar altamente correlacionados en el momento en que muchas personas comenzaron a tener problemas para pagar sus hipotecas. Dado que estos valores predeterminados estaban estrechamente relacionados debido a un clima económico adverso, los contras mostraron una dependencia de cola.
PD: Técnicamente hablando, las imágenes muestran distribuciones multivariadas generadas a partir de las cópulas y los marginales normales.