Calcular el cuantil de la suma de distribuciones de cuantiles particulares

Supongamos $N$ variables aleatorias independientes para las cuales los cuantiles en algún nivel específico se conocen a través de la estimación de los datos: , ..., . Ahora definamos la variable aleatoria como la suma . ¿Hay alguna manera de calcular el valor del cuantil de la suma en el nivel , es decir, en ? $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Creo que en casos particulares, como si sigue una distribución gaussiana esto, es fácil, pero no estoy tan seguro para el caso en el que se desconoce la distribución de . ¿Algunas ideas? $X_i$ $\forall i$ $X_i$

quantiles

— albarji
fuente

¿Son estos

q_{i}

$q_i$ estimé a partir de datos o teóricamente conocidos?

— chuse

Esto no es posible sin hacer suposiciones específicas sobre las distribuciones de

X_{i}

$X_i$ . ¿Tienes una familia de distribuciones en mente?

— whuber

@chuse los

q_{i}

$q_i$ se estiman a partir de los datos, ya que no se conoce la distribución de

X_{i}

$X_i$ pero hay muestras disponibles. He actualizado la pregunta con este hecho.

— albarji

@whuber no tengo ningún conocimiento previo acerca de la familia de distribuciones de la

podría estar siguiendo, aunque las muestras de datos están disponibles. ¿Asumir una familia de distribuciones (aparte de Gauss) facilitaría esto?

X_{i}

$X_i$

— albarji

podría ser cualquier cosa. $q_Z$

Para comprender esta situación, hagamos una simplificación preliminar. Al trabajar con obtenemos una caracterización más uniforme $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Es decir, cada tiene la misma probabilidad de ser negativo. Porque $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

la ecuación definitoria para es equivalente a $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

con . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

¿Cuáles son los valores posibles de ? Considere el caso donde todos tienen la misma distribución con toda probabilidad en dos valores, uno de ellos negativo ( ) y el otro positivo ( ). Los posibles valores de la suma están limitados a para . Cada uno de estos ocurre con probabilidad $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Los extremos se pueden encontrar por

Elegir e para que ; e lograrán esto. Esto garantiza que será negativo, excepto cuando todos los sean positivos. Esta posibilidad es igual a . Supera cuando , lo que implica que el cuantil de debe ser estrictamente negativo. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Elegir e para que ; e lograrán esto. Esto garantiza que será negativo solo cuando todos los sean negativos. Esta posibilidad es igual a . Es menor que cuando , lo que implica que el cuantil de debe ser estrictamente positivo. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Esto muestra que el cuantil de podría ser negativo o positivo, pero no es cero. ¿Cuál podría ser su tamaño? Tiene que igualar alguna combinación lineal integral de e . Hacer que estos valores sean enteros asegura que todos los valores posibles de sean integrales. Al escalar por un número positivo arbitrario , podemos garantizar que todas las combinaciones lineales integrales de e son múltiplos integrales de . Como , debe tener al menos tamaño de . Por consiguiente, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ Los posibles valores de (y de donde ) son ilimitados, $q_W$ $q_Z$ sin importar lo que pueda ser igual. $n\gt 1$

La única forma de obtener información sobre sería hacer restricciones específicas y fuertes sobre las distribuciones de , para prevenir y limitar el tipo de distribuciones desequilibradas que se utilizan para obtener este resultado negativo. $q_Z$ $X_i$

— whuber
fuente

Muchas gracias @whuber, por la explicación y el ejemplo ilustrativo. Aunque la respuesta es negativa, no puedo decir que esto fue inesperado. Luego intentaré averiguar qué familia de distribuciones se adapta a mis datos y ver si con eso puedo calcular los cuantiles de la suma.

— albarji